L'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes étant

il suffit de remplacer 62 par — b2 dans les résultats trouvés pour l'ellipse. On a ainsi les deux solutions réelles

p = o , a==±V/ô2+72=db:c, et le polynôme du second degré est le carré du polynôme du premier degré a . Les deux autres solutions sont imaginaires.

L'hyperbole admet donc deux foyers réels F et F' , situés

sur l'axe transverse et à égale distance du centre (fig. i33). On les obtient en menant par le sommet A une perpendiculaire AG à Taxe transverse jusqu'à l'asymptote, et prenant sur l'axe transverse des longueurs OF et OF' égales à OG.

Fig 133 La directrice est représentée

a2 par l'équation #= — . Au foyer F correspond la directrice

DE, au foyer F7 la directrice D'E'. Du point 0 comme centre, avec OA pour rayon, décrivons un arc de cercle qui coupera l'asymptote au point H, ce point appartient à la directrice. En effet, les deux triangles OAG, OHF, qui ont un angle «commun 0, les côtés OA et OG respectivement égaux à OF et OH, sont égaux, et l'angle OHF est droit; si du point H on abaisse une perpendiculaire HD sur l'axe transverse 0A,!

on a OH =OF X OD, et, par suite, OD = — . Ainsi la droite DH est la directrice.

Le rapport constant k = s/m? + n2 est égal à - ; c'est Y excentricité de l'hyperbole ; on la représente aussi par la lettre t.

233. Théorème III. La différence des distances de chacun des points de l'hyperbole aux deux foyers est constante et égale à l'axe transverse.

La distance d'un foyer à un point quelconque M de la courbe

(OLX \ a j . Les abscisses a et x du foyer

et d'un point de l'hyperbole étant plus grandes que a en valeur absolue, le second terme en valeur absolue est plus grand que a. Il faudra donc faire précéder la parenthèse du signe — ou du signe -f-, suivant que le point M est sur la branche de droite ou sur celle de gauche, et que l'on prend sa distance à l'un ou à l'autre foyer. Pour la branche de droite, on a

MF™ — a-\-ex , MF' = a + ex; d'où

MF — MF — aa.

Pour la branche de gauche, on a

MF = a — ex , MF' = — a — ex; d'où

MF — MF' = aa.

234. Corollaire I. La différence des distances d'un point situé entre les deux branches de Vhyperbole aux deux foyers est plus petite que l'axe transverse; lorsque le point est situé dans les deux autres parties du plan, la différence est plus grande que l'axe transverse.

Soit P un point situé entre les deux branches de la courbe

(fig. i34) ; la droite PF rencontre l'hyperbole au point M. On a