MF = MF' — F'N = MN
Pour un point M' de la seconde branche, on a
M'F — M'F=aa = F,N'# et, par suite, M'F=M'F-f F'N=M'N'.
Dans le premier cas, la portion MN de la normale mesure la distance du point M au cercle, et la première branche d'hyperbole est le lieu des points également distants du foyer F et du cercle directeur.
236. Théorème IV. La tangente à V hyperbole est bissectrice de V angle des rayons vecteurs qui vont du point de contact aux deux foyers.
Prenons deux points voisins M et M' sur l'hyperbole (fig. i36). Du foyer F comme centre, avec un rayon égal FM, décrivons ^ un arc de cercle qui coupera en C le rayon vecteur FM'; du foyer F' comme centre, avec un rayon égal à F'M, décrivons un arc de cercle qui coupera en Die rayon vecteur F'M'; quand on passe du point M au point M', les deux rayons vecteurs FM, F'M éprou- Fig. 136. vent des accroissements égaax à M'C
et à M'D ; puisque la différence est constante, ces deux accroissements sont égaux entre eux.
Sur la sécante MM' prenons une longueur arbitraire MG, et par le point G menons GH parallèle à la corde MC et GK parallèle à la corde MD. A cause des parallèles, on a MTJ M'M M'D.
puisque les deux longueurs M'C et M'D sont égales, il en résulte que les deux longueurs M'H et M'K sont aussi égales. Lorsque le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la sécante MM' tend vers une position limite qui est la tangente à l'hyperbole au point M ; en même temps , les cordes MC et MD deviennent tangentes aux cercles décrits des foyers comme centres et, par conséquent, perpendiculaires àFMetF'M; leurs parallèles GH, GK prennent aussi des directions perpendiculaires à ces mêmes rayons, et les angles H et K deviennent droits. Les deux triangles M'GH, M'GK, qui ont un coté M'G commun et un côté M'H égal à M'K, deviennent donc rectangles et, par conséquent, égaux entre eux ; il en résulte que les
angles GM'H, GM'K deviennent égaux; ainsi la tangente à l'hyperbole au point M est bissectrice de l'angle FMF\
237. Corollaire L L'hyperbole est la seule courbe qui jouisse de cette propriété ; car en appelant u et v les rayons MF et MF', Aw et \v leurs variations, on a
At; M'D M'K Aw~~M'C~M'H*
Si l'on suppose que les angles GM'H, GM'K deviennent égaux, quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, les deux triangles GM'H, GM'K deviennent aussi égaux, ainsi que les côtés MU et M'K; il en résulte
,. Av lim — = i
Au
En remontant à la fonction primitive, on a v = u-\-G, d'où v — w = G.
238. Corollaire II. Une ellipse et une hyperbole homofocales se coupent à angle droit. On dit que deux courbes du
second degré sont homofocales, lorsque leurs foyers coïncident; on appelle angle de deux courbes l'angle de leurs tangentes au point d'intersection. Soit Mie point d'intersection d'une ellipse et d'une hyperbole qui ont mêmes foyers F, F' (fig. 137); la Fig- 137, bissectrice MN de l'angle FMF est,
d une part normale à l'ellipse, d'autre part tangente à l'hyperbole ; donc les tangentes MT, MN aux deux courbes sont perpendiculaires entre elles.
239. Problème V. Mener une tangente à Vhyperhole par un point M donné sur l'hyperbole.
Sur le rayon vecteur MF' prenons une longueur MH égale à l'autre rayon vecteur MF, et par le point M menons une droite MF perpendiculaire à FH; nous aurons la tangente demandée (fig. i38).
Remarque. Il est bon d'observer que la tangente est tout entière située entre Jes deux branches de l'hyperbole. Soit P point quelconque de cette tangente, on a PF— PH<FH, et, par suite,
PF— PF<2a; donc le point P est situé entre les Fig. 138. deux branches de l'hyperbole. Une
branche de l'hyperbole, étant située d'un même côté de chacune de ses tangentes, est une courbe convexe.
La tangente étant perpendiculaire sur le milieu I de FH, le point I est la projection du foyer F sur la tangente. La droite 01, qui est parallèle à F'H et égale à la moitié de F'H, est constante ; il en résulte que le lieu des projections des foye?*s sur les tangentes est le cercle décrit sur l'axe transverse comme diamètre.
SI 40. Problème VI. Mener une tangente à V hyperbole par un point donné P situé entre les deux branches de l'hyperbole. Soit PM une tangente passant par le point P (fig. 139); si du
rayon vecteur MF' on retranche MH=MF, on sait que la tangente PM est perpendiculaire sur le milieu de FH. La question revient à déterminer le point H ; ce point se trouve à l'intersection du cercle décrit du foyer F' comme centre, avec un rayon égal à 2a, et du cercle décrit du point P comme centre avec un rayon égal à PF. On obtiendra la tangente en menant du point P une perpendiculaire à FH, et on déterminera le point de contact M par le rayon vecteur F'H.
Les deux cercles se coupent en un second point H'; en nié-
Fig. 139.
nant du point P une perpendiculaire à FIT, on aura une seconde tangente PM;, dont on déterminera le point de contact à Faide de la droite F'H'.
Lorsque le point P est situé sur Tune des asymptotes, Tune des tangentes menées par le point P coïncide avec cette asymptote, et le point de contact s'éloigne à l'infini.
241. Problème VII. Mener à Vhyperbole une tangente parallèle à une droite donnée OL.
Du foyer F/ comme centre, avec un rayon égal à ia, on
^V — --^ L/ // décrira le cercle directeur; du
A;-^\ / \ / // foyer F, on mènera une droite
/ \ \ r--. J\h Vm perpendiculaire à OL (fig. 140);
