u^h^ — , cette droite coupera le cercle en
\ m I j ! \ deux points H et H' : par les mi-
/ / / I \ lieux des droites FH et FH', on
v%-y~ -"'' \ mènera des parallèles à OL; ces
Fig. i4o. parallèles seront les tangentes de-
mandées. Les droites F'H,, F'H' détermineront les points de contact M et M'.
Pour que le problème soit possible, il faut que la droite donnée OL, que Ton peut supposer menée par le centre, ne rencontre pas l'hyperbole; alors la perpendiculaire FH7 menée par le foyer F coupera le cercle directeur en deux points.
242. Problème VIII. Trouver les points de rencontre d'une droite et d'une hyperbole définie par ses foyers et son axe transverse.
La construction est exactement la même que pour l'ellipse.
243. L'équation de la parabole, rapportée à son axe et à la tangente au sommet, est
y* — %px = o.
Cette équation ne contenant pas de terme en xy ni de terme en x2, on doit avoir, d'après les relations générales du n° 216, mn = of 1 — m2 — o; d'où n = o, m= 1. Le coefficient du terme en y et le terme constant devant être aussi nuls,
on ap = o,a2-ft2 = o. D'ailleurs les équations (3) du n° 216
se réduisent à 1 — ——; on en déduit a -\-h=p. L'équation
a2 — h2 == o ou (a -f- h) (a — h) = o devient j9 (a — ft)= o, c'est-à-
dire a — h — o; il en résulte a = A = - .
On n'a ici qu'une solution. Ainsi la parabole admet un seul foyer F situé sur son axe à une distance du sommet A égale à la moitié du paramètre (fi g. 141). Le polynôme du second degré étant le carré du polynôme du premier
P degré a? + - * la distance FM est égale à
P #-j- • Au foyer correspond une directrice
DE, représentée par l'équation x — — -;
cette directrice est perpendiculaire à Taxe et à une distance
AD du sommet égale à AF.
Le rapport constant k = ^m*-\-n* se réduit ici à l'unité; ainsi chacun des points de la parabole est également distant du foyer et de la directrice.
244. Théorème V. Tout point intérieur à la parabole est plus rapproché du foyer que de la directrice ; tout point extérieur est, au contraire, plus rapproché de la directrice que du foyer.
Considérons d'abord un point N situé à l'intérieur de la parabole; joignons-le au foyer et abaissons de ce point une perpendiculaire NE sur la directrice. Cette perpendiculaire rencontre la courbe en un point M que nous joignons au foyer. Le point M appartenant à la parabole, les distances MF et ME sont égales. Mais la ligne droite NF est plus courte que la ligne brisée NM + MF; si Ton remplace MF par son égale ME, on voit que la distance NF est plus petite que NE. Ainsi le point intérieur N est plus près du foyer que de la directrice. Considérons maintenant un point extérieur P situé entre la courbe et la directrice. Joignons-le au foyer et abaissons sur
FOYERS ET DIRECTRICES. m
la directrice une perpendiculaire PE que nous prolongerons jusqu'à sa rencontre en M avec la courbe. Le point M appartenant à la parabole, les distances MF et ME sont égales ; la ligne droite MF, ou son égale ME, est plus courte que la ligne brisée MP+PF ; si Ton retranche MP de part et d'autre, on voit que PE est plus courte que PF. Ainsi le point extérieur P est plus près de la directrice que du foyer. Lorsque le point P est situé à gauche de la directrice, il est évidemment plus près de la directrice que du foyer.
Il résulte de laque la parabole peut être considérée comme le lieu des points également distants du foyer et de la directrice. C'est ainsi qu'on définit ïa parabole en Géométrie élémentaire, et c'est sur cette propriété que repose la construction de la parabole par points ou d'un mouvement continu, dont nous avons parlé au commencement (n° 16).
245. Théorème VI. La tangente à la parabole fait des angles égaux avec la parallèle à l'axe et le rayon vecteur menés par le point de contact.
Prenons sur la parabole deux points voisins M et M' (%. 142), que nous joindrons au foyer et desquels nous abaisserons des perpendiculaires ME, M'E' sur la directrice. Du foyer F comme centre, avec FM pour rayon, décrivons un \~Pf^ arc de cercle MC, et par le point M menons ~Z/f^/Q une parallèle MC à la directrice. La lony 1/ gueur M'C est la différence des deux rayons
h-^p vecteurs FM7, FM; c'est l'accroissement
V qu'éprouve le rayon vecteur FM quand on
>v passe du point M au point M'. De même, la
\s. longueur M'C est la différence des deux per- Fio- 142 pendiculaires M'E', ME; c'est l'accroisse-
ment qu'éprouve la perpendiculaire ME quand on passe du point M au point M'. Comme le rayon vecteur MF reste constamment égal à la perpendiculaire ME, il en résulte ajie les deux accroissements M'C et M'C sont égaux entre eux.
Menons la sécante MS par les deux points M et M' et traçons la corde MC dans le cercle décrit du foyer comme centre. Sur
GBOM. ANALYT. 16
la sécante portons une longueur arbitraire MG, et par le point G menons GH parallèle à MC et GK parallèle à MC. A cause
des parallèles, on a les rapports égaux r—- — ^-^- =
WM :MrG:
puisque les deux longueurs M'C et M'C' sont égales, les deux longueurs M'H et M'K, qui leur sont proportionnelles, sont aussi égales.
Supposons maintenant que le point M' se rapproche indéfiniment du point M ; la sécante MS tend vers une position limite MT qui est la tangente à la parabole; la corde MC prolongée tend de même vers la tangente au cercle, et, par conséquent, devient perpendiculaire au rayon FM; la parallèle GH prend aussi une direction perpendiculaire à FM. On voit par là que les deux triangles M'GH, M'GK ont pour limites deux triangles rectangles MGH, MGK(fig. i43); ces deux triangles rectangles, ayant l'hypoténuse MG commune, et les côtés MH et MK égaux entre eux comme limites de longueurs égales, sont égaux; d'où l'on conclut l'égalité des deux angles GMH, GMK. Ainsi la tangente MT à la parabole est bissectrice de l'angle FME, formé par le rayon MF et la perpendiculaire ME abaissée du point de contact sur la directrice. Si l'on prolonge EM suivant ML, les deux angles GMK, T'ML étant égaux comme opposés par le sommet, les deux angles TMF, T'ML, formés par la tangente avec le rayon vecteur et la parallèle ML à l'axe, sont égaux.
240. Corollaire I. Supposons qu'une lumière soit placée au foyer F .(flg. 144) de laparabole; les rayons lumineux, partant du foyer F, se réfléchissent sur la parabole en faisant un angle de réflexion égal à l'angle d'incidence. Soit FM l'un de ces rayons; menons la tangente TT' à la parabole en ce point : le rayon réfléchi, devant faire un angle LMT' Fig. 144, égal à FMT, sera parallèle à Taxe AB de la pa~
rabole. Ainsi tous les rayons réfléchis seront parallèles à l'axe.
C'est d'après ce principe que l'on construit les réflecteurs employés dans les réverbères et les lanternes des voitures. La surface intérieure, en métal bien poli, est engendrée par une parabole tournant autour de son axe; la lumière est placée au foyer; les rayons lumineux, après leur réflexion, devenant tous parallèles à l'axe, le réflecteur projette un faisceau de rayons parallèles qui se propagent sans se disperser et qui éclairent à une grande distance.
Corollaire II. Supposons au contraire que des rayons lumineux, parallèles à Taxe, tombent sur un miroir parabolique ; après leur réflexion, ils iront tous converger au foyer.
On emploie les miroirs paraboliques dans la construction des télescopes ; l'axe est dirigé vers l'astre ; les rayons lumineux venant de l'astre se réfléchissent sur le miroir, et forment au foyer une image très-brillante de l'astre.
On emploie aussi la forme parabolique dans la construction des porte-voix et des cornets acoustiques.
247. Corollaire III. Réciproquement, la parabole est la seule courbe qui jouisse de cette propriété que la tangente en chacun de ses points fasse des angles égaux avec la parallèle à une droite fixe et le rayon vecteur mené d'un point fixe au point de contact. Imaginons que chacun des points M du plan soit déterminé par sa distance MF au point fixe F, et sa distance ME à une droite DE perpendiculaire à la droite fixe FB (flg. 142); désignons par u et v ces deux coordonnées (n° 17). Quand on passe du point M de la courbe au point voisin M', ces deux coordonnées éprouvent des accroissements Aw = M'C, Av=M'C, et l'on a
At« — M'C- M'H"
Quand le point M' se rapproche indéfiniment du point M, la droite M'M devient tangente et l'angle H devient droit. Les deux triangles rectangles limites GMH, GMK (flg. 143) sont égaux, comme ayant l'hypoténuse commune et l'angle GMH
égal à GMK par hypothèse. On a clone
.. A?; lim— — 1,
Aw
et en remontant à la fonction primitive v = u -f- C. En déplaçant la droite DE d'une quantité égale à la constante C, on aura v = u.
248. Problème IX. Mener une tangente par un point M donné sur la parabole.
Première méthode. Soit T (fig. i45) le point où la tangente . rencontre le prolongement de Taxe, ME la i" — ":'j?r perpendiculaire abaissée du point M sur la X'--y! directrice. On sait que la tangente est bis-
W\ / sectrice de l'angle FME ; l'angle FTM étant
■Jpf égal à l'angle alterne-interne TME et, par
i\ suite , à l'angle FMT, il en résulte que le
! \ triangle TFM est isocèle, et les deux côtés
^\^^ FM, FT égaux entre eux. Ainsi, pour con-
fj£. lis. struire la tangente au point M, il suffit
de porter sur l'axe une longueur FT égale au rayon vecteur
FM et de joindre TM.
Cette méthode ne convient pas quand le point M est trèsvoisin du sommet A de la parabole, parce que les deux points M et T, étant alors très-rapprochés l'un de l'autre, ne déterminent pas la tangente avec une assez grande précision. Dans ce cas, on emploiera de préférence la méthode suivante.
Deuxième méthode. La tangente MT, divisant en deux parties égales l'angle au sommet M du triangle isocèle FME, est perpendiculaire sur le milieu de la base FE. Ainsi, pour construire la tangente, il suffit d'abaisser du point M une perpendiculaire ME sur la directrice, et de mener du point M une perpendiculaire sur la droite FE.
Il résulte de cette construction que la tangente au sommet A de la parabole est perpendiculaire à l'axe de la parabole.
Remarque. Il est bon d'observer que tous les points de la tangente, excepté le point de contact M, sont situés à Texte-
rieur de la parabole. Soit P un point quelconque de la tangente ; la tangente étant perpendiculaire sur le milieu de FE. les distances PE, PF sont égales ; mais l'oblique PE est plus grande que la perpendiculaire PK; donc la distance PF est plus grande que PK, et, par suite, le point P est à l'extérieur de la parabole. Il en résulte que la parabole est une courbe convexe,
240. Corollaire. Le lieu des projections du foyer sur la tang ente à la parabole est la tangente au sommet. On voit, en effet, que le point I, milieu de FE, et projection du foyer sur la tangente, se trouve sur la parallèle à la directrice, menée par le point A, milieu de FD, c'est-à-dire sur la tangente au sommet A.
2dO. Problème X. Mener une tangente à la parabole par un point extérieur P.
Supposons le problème résolu et soit PM (flg. 146) une tan- ^ gente passant par le point P. Sil'on abaisse uj^ du point M une perpendiculaire ME sur la
\// directrice et si l'on j oint FE, on sait que la
K\ tangente PM est perpendiculaire surlemi-
T7i "" ^eu de P^î il en résulte que la distance
)<V PE est égale à PF, et l'on en déduit la con-
''''^v struction suivante : du point P comme
^X^ centre, avec un rayon égal à la distance Fig. lie. PF de ce point au foyer, décrivons un
cercle qui coupera la directrice au point E. Joignons FE, et du point P menons une perpendiculaire sur la droite FE, nous aurons la tangente demandée. Le point de contact M sera déterminé par l'intersection de la tangente avec la parallèle à Taxe menée par le point E.
Le cercle coupe la directrice en un second point E'. On mènera de même du point P une perpendiculaire sur FE' et l'on aura une seconde tangente PM'.
Ces constructions peuvent être effectuées sans que la parabole soit tracée. Il suffit que l'on connaisse le foyer et la directrice.
Fig. 147.
