Problème XL Mener à la parabole une tangente parallèle
à une droite donnée KL.
Supposons le problème résolu et soit MT la tangente demandée (fig. i47). Si du point de contact M on abaisse une perpendiculaire ME sur la directrice et que 1 on joigne FE, on sait que la tangente est perpendiculaire sur le milieu de FE. On en déduit la construction suivante : du foyer F menons une perpendiculaire à la droite donnée KL jusqu'à sa rencontre avec la directrice en E, et sur le milieu de FE élevons une perpendiculaire MT, nous aurons la tangente demandée. On déterminera le point de contact M en menant par le point E une parallèle EM à Taxe.
252. Problème XII. Trouver les points de remontre d'une droite donnée et d'une parabole définie par son foyer et sa directrice.
Prenons le point F, symétrique du foyer F par rapport à la droite donnée (fig. 148). Le point M, étant également distant des points F, F 1? et de la directrice, est le centre d'un cercle passant par ces deux points et tangent à la directrice. Pour avoir le point de contact E, on porte sur la directrice, à partir du point I, où la droite FFt rencontre la directrice, et de part et d'autre, une longueur IE moyenne proportionnelle entre les deux longueurs IF, IFj; on en déduit les deux points d'intersection M et M'.
Lorsque le point F15 symétrique du foyer par rapport à la droite donnée, est situé à droite de la directrice, il y a effectivement deux solutions. Lorsque le point F4 est sur la directrice, la droite est tangente à la parabole. Enfin, quand le point Ff est à gauche de la directrice, la droite ne rencontre pas la parabole.
2S3. Théorème VIL La limite d'une ellipse ou d'une hyperbole
Fig. 148.
dont le paramètre conserve une valeur finie, tandis que le grand axe ou taxe iransverse augmente indéfiniment, est une parabole.
Dans îa parabole l'ordonnée du foyer est égale au paramètre p; par analogie, on appelle paramètre d'une ellipse ou
, b2 d'une hyperbole l'ordonnée du foyer, qui est égale à — , et on
Ut
désigne ce paramètre par p. L'ellipse, rapportée à son grand axe et à la tangente au sommet (fig. 149), a une équation de la forme
— x zXd
ou y1
