VX — -X

Supposons maintenant que le sommet A restant fixe, et le paramètre p conservant une valeur finie, on fasse augmenter le grand axe îa indéfiniment, l'équation de l'ellipse se réduit à l'équation y2—2px, qui représente une parabole. Si l'on considère les points qui correspondent à une même valeur de x, on voit que chaque point de la parabole est la position limite vers laquelle tend

le point correspondant de l'ellipse, quand on fait augmenter a

indéfiniment ; ce qu'on énonce en disant que la parabole est la

limite de l'ellipse.

L'hyperbole, rapportée à son axe transverse et à la tangente

au sommet A, a de même pour équation

si Ton fait augmenter a indéfiniment, le paramètre p conservant une valeur finie, cette équation se réduit aussi à

.zpx.

La parabole est la limite de la branche d'hyperbole â laquelle appartient le sommet A; l'autre branche s'est éloignée indéfiniment vers la gauche.

Dans ce qui précède nous avons supposé que le paramètre de l'ellipse ou de l'hyperbole conserve une valeur finie. On arrive à la même conclusion, en supposant que la distance AF du sommet A au foyer voisin F conserve une valeur finie. En effet, en appelant a cette distance, on a, dans l'ellipse, c = a — a et, par suite,

le paramètre p ayant pour limite la quantité finie 2a, l'équation de l'ellipse se réduit à y* = 4«#. Il en est de même pour l'hyperbole.

2o4. Remarque. Cette transformation de l'ellipse en parabole a de l'importance. Elle permet de déduire des propriétés de l'ellipse celles de la parabole comme cas particuliers. Ainsi, dans l'ellipse, le diamètre, ou le lieu des milieux d'une série des cordes parallèles, est une droite passant par le centre; si l'on suppose que le centre s'éloigne à l'infini, l'ellipse se change en parabole, et les diamètres deviennent parallèles à l'axe.

L'ellipse est le lieu des points également distants du foyer F et du cercle directeur décrit du foyer F' comme centre (n° 221). Le foyer F7 s'él oignant à l'infini, le cercle directeur devient la directrice de la parabole.

La tangente à l'ellipse fait des angles égaux avec les rayons vecteurs qui vont du point de contact M aux deux foyers (n° 222) ; le foyer F' s'éloignant à l'infini, le rayon vecteur MF devient parallèle à Taxe.

2S5. Théorème VIII. Si l'on mène deux tangentes à une courbe du second degré \ la droite FP, qui va du foyer 'F au point de concours P dès deux tangentes^ est bissectrice de V angle des rayons vecteurs FM, FM', qui vont de ce foyer aux points de contact des

deux tangentes t ou de l'angle extérieur, suivant que les deux tangentes touchent une même branche de la courbe, ou deux branches différentes.

Considérons deux tangentes PM, PM' à une ellipse (flg. i5o); prolongeons le rayon F'M d'une longueur MH égale à MF, et de même FM' d'une longueur M'H' égale à M'F'; les tangentes hv0___ étantperpendiculàires sur les milieux

de FH et de F'H', on a

PH = PF, PH' = PF7 ^:><\yt/ fl e* les deux triangles FTH, HTF sont égaux, comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun, savoir F'H^FH'^aa, PH^PF, Fis- 15°- PF' = PH'; on en conclut que les

angles PHM, PFM' sont égaux; mais l'angle PHM est égal à PFM ; donc les angles PFM, PFM7 sont égaux et la droite FP est bissectrice de l'angle MFM'.

La même chose a lieu dans l'hyperbole, quand les deux tangentes touchent une même branche : mais quand les tangentes touchent deux branches différentes, la droite FP est bissectrice de l'angle formé par l'un des rayons vecteurs FM, et le prolongement de l'autre.

Examinons maintenant le cas où la courbe est une parabole (fig. i5i). Des points de contact abaissons des perpendiculaires MH, M'H' sur la directrice ; les tangentes étant perpendiculaires sur les milieux des droites FH, FH', les angles PFM, PFM' sont égaux respectivementaux angles PHM,PH'M'. Les droites PH et PH', égales à la droite PF, sont égales entre elles, et le triangle HPH' est isocèle. Les angles PHM, PH'M/ complémentaires des angles égaux du triangle isocèle, sont égaux entre eux; donc les angles PFM, PFM' sont égaux. C'est ce que l'on peut d'ailleurs conclure immédiatement en regardant la parabole comme limite d'une ellipse.

Fig. loi.

256. Théorème IX. Les tangentes menées d'un point extérieur P à une ellipse ou à une hyperbole, font des angles égaux avec les droites qui joignent ce point aux deux foye?*s.

Dans les deux triangles égaux FPH, H'PF (flg. i5o), on aies angles égaux FPH, H'PF; en retranchant la partie commune F'PF, on a FPH = FPH', et, en prenant la moitié, FPM = F'PM'.

La même propriété subsiste dans la parabole, limite d'une ellipse ; il suffit de remplacer le rayon vecteur PF par une droite PI parallèle à Taxe (flg. i5i). Il est facile d'ailleurs de démontrer directement cette propriété : si du point P comme centre, avec un rayon égal à PF, on décrit un cercle, ce cercle passera par les points H et H'; les angles MPI, FHH' sont égaux, comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires ; mais l'angle inscrit FHH' est moitié de l'angle au centre FPH' et, par conséquent, égal à l'angle FPM'; donc les angles MPI, M'PF sont égaux.

£57. Théorème X. La droite FK, qui joint le foyer d'une courbe du second degré au point où une sécante quelconque rencontre la directrice, est bissectrice de V angle extérieur des rayons vecteurs allant du foyer aux points ou la sécante coupe la courbe, ou bissectrice de lJang le même des rayons vecteurs, suivant que les deux points d'intersection M et M' sont situés sur la même branche de la courbe ou sur deux branches différentes.

Des points M et M' abaissons des perpendiculaires sur la directrice (fig. i52); on a