MF M'F ME~~M'E

et, par suite,

MF ME MK M'F- M'E'- M'K' Lorsque les deux points M et M' appartiennent à une même branche de la courbe, le point K étan t situé sur le prolongement de la corde MM', la droite FK est bissectrice de l'angle extérieur au triangle MFM'. Lorsque les

Fig. 152.

points M et M' appartiennent à deux branches différentes, le point K étant situé entre les points M et M', la droite FK est bissectrice de l'angle MFM'.

Corollaire. Si Ton mène des tangentes à la courbe aux points M et M', et que l'on joigne le foyer F au point de concours P de ces tangentes, les deux droites FK, FP, étant les bissectrices de deux angles supplémentaires, sont perpendiculaires entre elles.

258. Théorème XL Si) par un point P pris sur la directrice, on mène des tangentes à une courbe du second degré, la droite des contacts MM' passe par le foyer correspondant F, et elle est

perpendiculaire à la droite FP qu joint le point P au foyer (fig. i53).

Imaginons que la tangente PM soit la limite d'une sécante dont les deux points d'intersection se sont réunis en un seul ; en vertu du théorème précédent, la droite FP est

perpendiculaire à FM ; elle est de même perpendiculaire à FM';

donc la ligne MFM' est droite et perpendiculaire à FP.

259. Théorème XII. Le produit des distances des deux foyers à une tangente quelconque de V ellipse ou de V hyperbole est constant.

Soient FH, F'H' les perpendiculaires abaissées des foyers sur une première tangente (fig. i54), FK, F'K' les perpendiculaires abaissées sur une seconde tangente, P le spoint de rencontre des deux tangentes.

En vertu du théorème IX, les triangles rectangles FPH, F'PK' sont semblables, ainsi que les triangles FPK, FPH', et l'on a

FH FP FK

Fig. 154.

d'où

F'K'- F'P F'H" FHXF'R' = FKXF'K'.

Si la courbe est une ellipse, en menant la tangente parallèle au grand axe, on reconnaît que le produit constant est égal à à2. Quand la courbe est une hyperbole, si Ton considère l'asymptote comme la limite d'une tangente, on voit aussi que le produit est égal à b2.

2G0. Problème XIII. Construire une courbe du second degré, connaissant le foyerY et trois points A, B, C.

Supposons le problème résolu et les trois points appartenant à une même branche ; le point D, où la sécante AB est coupée par la bissectrice de l'angle extérieur au triangle AFB, appartient à la directrice (n° 25?) ; la sécante BC donnera de même un second point D' de la directrice. Le foyer F, la directrice

DD' et le point A définissent une courbe du second degré et une seule ; ce sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que la distance AF sera inférieure, égale ou supérieure à la distance AE du point Fig. ioo. A à la directrice. Il est facile de voir

que cette courbe passera par les deux points B et G ; en effet, à cause de la bissectrice FD, on a