AF AD__AE BF~BD~~BE

AF BF et, par suite, AË = BB';.

donc la courbe passe par le point B. On démontrera de même qu'elle passe par le point C. On a ainsi une première solution. On peut supposer que les trois points ne sont pas sur une même branche; si, par exemple, les deux points A et B sont sur une même branche et le point C sur l'autre branche de l'hyperbole, les bissectrices des angles AFC, BFC donneront deux points de la directrice. Les trois solutions obtenues de cette manière sont des hyperboles. On a donc en tout quatre solutions; des quatre courbes du second degré qui adxnettent le foyer donné et passent par les trois points donnés, trois sont

toujours des hyperboles, la quatrième est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant la disposition des points.

261. Le calcul conduit à la même conséquence; soient a et p les coordonnées du foyer, x' et y\ x" et y\ x'" et ym les coordonnées des trois points donnés, S', S", o"' leurs distances au foyer ; l'équation de la courbe peut se mettre sous la forme

(x — a)2 -)- [y — p)2 — (mx -f- ny -|- h)2 = o,

et alors la directrice aura pour équation mx-\-ny-\-k=o. On déterminera les trois constantes m,n,hk l'aide des trois équations du premier degré

V=±(mxf+ny'-\-h),

tr=±(mx"'+ny'"-\-h).

Chaque combinaison de signes donne un système d'équations; il y a huit combinaisons : mais on remarque que, si l'on change les signes dans les trois équations, les valeurs de m, n> h changent de signes, et la courbe reste la même ; on a donc quatre solutions.

La distance d'un point à une droite est exprimée par une formule renfermant un double signe ; on doit prendre le même signe pour tous les points situés d'un même côté de la droite, et l'autre signe pour tous les points situés de l'autre côté. On sait que l'ellipse est située tout entière d'un même côté par rapport à chacune de ses directrices ; la parabole est située aussi d'un même côté de sa directrice, tandis que chacune des directrices de l'hyperbole passe entre les deux branches de la courbe. Ainsi, prendre le même signe revient à supposer que les trois points appartiennent à une même branche; prendre des signes différents, que deux points sont sur une branche, le troisième sur une autre branche.

262. Problème XIV. Construire une courbe du second degré% connaissant un foyer et trois tangentes.

Supposons le problème résolu ; si du foyer F on abaisse des

254 LIVRE III, CHAPITRE Vil.

perpendiculaires sur les trois tangentes, et qu'on prolonge chacune d'elles d'une longueur égale à elle-même, on obtient trois points H, H', H", appartenant au cercle directeur (fig. i56) qui a pour centre le second foyer F'; le rayon F'H de ce cercle est égal à l'axe ia qui passe par les deux foyers. Les deux foyers F, F', avec la longueur ia définissent une courbe du second degré et ur# seule. Il est aisé de voir que cette courbe est tangente aux trois droites données ; en effet, soit M le point où le rayon F'H coupe la droite MT, la somme ou la différence des rayons vecteurs MF' et MF étant égale à F'H ou à o,a, le point M appartient à la courbe ; en outre, la Figj 156< droite MT, étant perpendiculaire sur

le milieu de FH, est tangente à la courbe au point M. Le problème admet ainsi une solution et une seule.

Si les trois points H, H, H" étaient en ligne droite, la courbe cherchée serait une parabole ayant pour directrice cette droite.