Si l'on prend pour origine un point 0 d'une courbe

du second degré, pour axe Ox le diamètre qui aboutit en ce

point et, pour axe Oy, la tangente en ce point, l'équation de

la courbe prend la forme

y2 = ipx-\-qx2.

En effet soit

Aa;2 + 2B^fy + C?/2 + 2D^+2E?/-l-F = o

Téquation de la courbe rapportée aux axes indiqués. Comme

elle passe par l'origine et qu'elle est tangente à Taxe Oy on a

en outre l'axe Ox étant le diamètre conjugué des cordes

parallèles à Oy, l'équation ne doit contenir y qu'au second

degré, car à chaque valeur de x répondent deux valeurs de y

égales et de signes contraires; donc B = o. Le coefficient C n'est pas nul, car s'il Tétait la conique se réduirait à deux droites parallèles à Taxe Oy. On peut alors résoudre l'équation par rapport à y2 et Ton obtient une équation de la forme indiquée. La courbe est une ellipse, une hyperbole ou une parabole suivant que q est négatif, positif ou nul.

Prenons en particulier pour origine un sommet de Taxe focal et pour direction positive de l'axe Ox celle qui va du sommet au foyer le plus voisin. Alors les coefficients p et q auront les valeurs suivantes :

i° Ellipse. En appelant a et b les axes de l'ellipse, on doit avoir y = o pour #~2a,et y2 = b2 pour# = a. Donc pa-\-qa2=o 'ipa-\-qa2 = b2

d'où p — — j q — — ï=— — i = e~ — 1

2° Hyperbole. On. doit avoir y = o pour x = — 2a, et y2 = — b2 pour x = -~a; donc

— pa-\-qa2 — o , — zpa-\~qa*= — bz

dou p = - , q = — = ——i=e2 — i<

3° Parabole, p est le paramètre, q est nul.

En résumé, en prenant pour origine un sommet de Taxe focal et pour axe des x la droite qui va de ce sommet au foyer le plus voisin, on mettra les équations des trois courbes sous la forme commune

y* = 2px-{-(e* — 1) x2 p désignant le paramètre et e l'excentricité, qui est supérieure à l'unité pour l'hyperbole, inférieure à l'unité pour l'ellipse et égale à l'unité pour la parabole.