POLAIRES

264. Nous prendrons pour pôle un foyer F et pour axe polaire la droite qui va de ce foyer au sommet voisin A, ou, ce qui est la même chose, la perpendiculaire abaissée du foyer sur la directrice correspondante DE.

Considérons d'abord une ellipse. Le rapport des distances

d'un point quelconque M de la courbe au foyer et à la directrice étant constant et égal à l'excentricité, on a

MF

^=e, ou MF^MExe.

La distance FD du foyer à

la directrice est égale à —

En projetant la ligne brisée FME sur l'axe, on a

d'où

pcosw-f ME=:FD = — ,

ME = p cos o> ;

en remplaçant ME par sa valeur dans l'équation précédente, on en déduit

i -f- e cos w

Si la courbe est une hyperbole (fig. i58), le même calcul

s'applique à la branche A, dont le sommet est voisin du foyer F pris pour pôle. Quant à la branche A' située de l'autre côté de la directrice, la projection de la ligne brisée FM'E donne

pcosw — M'E = FD, ce qui conduit à l'équation

Fig. 158.

i — e cos m

Mais si Ton convient de porter les rayons vecteurs négatifs en sens contraire de la direction indiquée par l'angle w, il est facile de voir que l'équation (1) représente à elle seule les deux branches de l'hyperbole. Soit M' un point quelconque de la seconde branche, u>' l'angle correspondant ATM', p' le rayon vecteur FM'; en vertu de l'équation (a), on a

p'= . Dans l'équation (1), donnons à l'angle w la

r 1 — ecosw ^ w °

valeur <*>' -f-7r, il viendra

■ e cos a)

on obtient ainsi pour p une valeur négative— p'. Mais la valeur *> -J- tc attribuée à w indique la direction FMi opposée à FM'; si p avait une valeur positive, il faudrait la porter dans la direction FMi ; p ayant une valeur négative — p', on convient de porter la valeur absolue p' en sens inverse, c'est-à-dire dans la direction FM', ce qui donne le point M'. Il résulte de là que l'équation (î) suffit pour représenter les deux branches de l'hyperbole, la première par les valeurs positives de p, la seconde par les valeurs négatives.

Le calcul effectué pour l'ellipse s'applique à la parabole (fig. i5g) ; il suffit de faire e= î. Il en résulte que l'équation (i) représente les trois courbes du second degré; la courbe est une ellipse , une parabole ou une hyperbole, suivant que l'excentricité e est

Fig. 159.

Inférieure, égale ou supérieure à l'unité,

EXERCICES

i© M et M' étant deux points d'une parabole, P le point de concours des tangentes en ces deux points et F le foyer, démontrer que Ton a