Soit b = a, on aura, pour la duplication des arcs

2 tango

tang 2o = 2-?—.

1 — tang* a

En faisant b = 2o, on trouverait tang 3o; et ainsi de suite.

36. Déterminons tang [a en fonction de tang a. En changeant o en {a, la dernière formule donne l’équation 2 tang | a

- — t— -’-t- = tang a ,

1 — tang’ y

qui revient à cette équation du second degré

[41 tang* [«-f

De celle-ci on tire

tangua =

tang i a — 4 =0.

tanga

* ( — 1 zh v^t -j~ tang* o).

tang a

L’équation [4] ayant pour dernier terme — 1, on est sûr, sans la résoudre, que les deux valeurs de tang \ a ont pour produit — 4 ; donc si AT et AT' (fig. 5) sont ces valeurs dans la situation qui convient à leurs lignes, on doit avoir AT X AT = ÜA1. Ainsi OA est une moyenne proportionnelle entre AT et AT’. De là il suit que l’angle TOT' est droit, ou ce qui est la môme chose, que l’arc MM’ est égal à 90°.

Il serait d’ailleurs facile de faire voir, d’après la nature môme de la question, pourquoi tangua a deux valeurs et n’en a que deux. Mais je laisse au lecteur cet exercice, qui ne saurait offrir aucune difficulté après tout ce qui a été dit plus haut dans des cas analogues.

Digilized by Googl

TRIGONOMÉTRIE

37. Dans les auteurs, on rencontre assez souvent les formules suivantes :

tangi tangua = tang J a =

— cos a

1 + COS rt ’ sin a