Soit fait b = 2a, les mêmes expressions donnent d’abord

sin 3a = sin a cos 2a + cos a sin 2a, cos 3a = cos a cos 2a — sin a sin 2a :

puis, en remplaçant sin 2a et cos 2a par leurs valeurs, et simplifiant les résultats au moyen de la relation sin’a + cos'a = t , on obtient

[3] sin 3a = 3 sin a — 4 sinsa ,

[4] cos 3a = 4cos3a — 3 cos a.

En continuant de la même manière , on s’élèvera aux multiples 4a, 5a, etc. Au reste, il existe, pour h multiplication des arcs, des formules générales qu’on trouvera dans le chapitre III.

31 . Occupons-nous maintenant des formules relatives à la division des arcs, et supposons d’abord qu’on veuille trouver le sinus et le cosinus de la moitié d’un arc. Changeons a en £a dans les formules [1] et [2], elles donneront

[5] 2 sin j a cos ’ a = sin a ,

[0] cos* à a — sin2 i a = cos a;

et d’ailleurs on a aussi

[7] cos* \a-\- sin* ^ a = 1 .

Si on donne cos a, il n’y a qu’à résoudre les équations [6] et [7]. Or, en retranchant la première de la seconde, et ensuite en l’ajoutant, il vient facilement

. . 4 /l — cosa /l-j-cosa

[8] sin{a=W , cos = W .

Telles sont donc les formules qui servent à calculer sin J a et cos { a quand on connaît cos a. Sur quoi il faut observer que le radical doit être considéré comme portant avec lui le signe ±.

La raison pour laquelle on obtient ainsi deux valeurs, égales et

de signes opposés, pour chacune des inconnues sin$ a et cos } a , est facile à trouver. Remarquez d’abord que ce n’est pas l’arc a lui-même qui entre dans ces valeurs , mais seulement son cosinus ; de sorte qu’elles doivent donner en même temps le sinus et le cosinus de la moitié de tous les arcs qui ont même cosinus. D’après le n“ 15, ces arcs sont fournis par la formule x = 2AH ± a ,

dans laquelle on désigne par a le plus petit arc positif correspondant au cosinus donné, par H la demi-circonférence, et par A un un nombre entier quelconque , positif ou négatif. On doit donc trouver, pour sin J a et cos \ a, les valeurs comprises dans

sin(AHtfc|a) et cos(AHdbfa).

Si k est pair, AH sera un multiple de 360°, on pourra le supprimer sans altérer ni le sinus ni le cosinus (10), et il viendra

sin (dt | «) = dd sin | a et cos (± *) = cos | a.

Si k est impair, on supprimera encore AH, mais il faudra changer les signes du sinus et du cosinus (10) : on aura

— sin (±!*) = rp sin^ee et — cos(±fa) = — cos{«.

On voit donc qu’on devait avoir en effet deux valeurs égales et de signes contraires pour sin ) a; et de même pour cos { a.

32. Si on donnait le sinus au lieu du cosinus, il suflirait de remplacer dans les formules [8] cos a par sa valeur y 1 — sin* a; et comme ce nouveau radical porte aussi avec lui le double signe dt, on aurait quatre valeurs pour chacune des inconnues sin | a et cos | a.

Mais on peut obtenir ces valeurs sous une autre forme. Reprenons les équations [5] et [t]

2 sin j a cos £ a = sin a , cos1 i a + sin1 j a = 1 ;

et tirons-en les valeurs de sin | a et cos ’ a. En ajoutant d’abord la première à la deuxième , et en la retranchant ensuite , puis en extrayant la racine carrée, il vient

cos | a -j- sin \ a =; y/l + sina , cos^ a — sin|a= y^l — sin a;

TRIGONOMÉTRIE. 23

d’où l’on déduit facilement les valeurs cherchées de sin 4 a et cos J a,

[9] sin{a = 4y/f -j-sina — {\/| — sm«,

[10] cos i a = i V 1 + sin a -]- ï V^l — sin <*•

A cause des deux radicaux , chacune de ces expressions a quatre valeurs; et c’est ce qu’on pouvait prévoir. En effet, elles doivent donner le sinus et le cosinus de la moitié de tous les arcs qui ont le même sinus : or ( H) ces arcs résultent des formules x = 2/.H -J- a , ar = (2A 1 ) II — — oc j

donc les expressions de sin [ a et cos J a doivent donner le sinus et le cosinus des arcs représentés par

Â-H + {a et (Jfc-H)H — 1«.

Mais on peut supprimer MI, en ayant soin de conserver ou de changer les signes du sinus et du cosinus selon que k est pair ou impair. Par conséquent on doit avoir pour sin {a, et aussi pour cos [ a , quatre valeurs , savoir :

sin }a = ± sin \ a et sin -] a = ± sin (JH — ’ a), cos j a = dt cos J a et cos 1 a = ± cos ( J H — |a).

On voit de plus qu’elles sont égales deux à deux, et de signes contraires. Si a = 90°, on a {a = 45°, }H — £a = 45°; et les quatre valeurs se réduisent à deux.

Une autre remarque se présente encore. Puisque H représente 180°, il s’ensuit que les deux arcs [a et |H — J a sont compléments l’un de l’autre , et par suites les valeurs précédentes peuvent être présentées ainsi :

sin \a = ± sin sin J-a = ±cos£a, cos|a = drcos}a, cos|n = dbsin|a.

C’est-à-dire que les valeurs de sin ± a sont les mêmes que celles de cos J a ; et c’est ce qu’indiquent aussi les formules [9] et [10].

Une difficulté reste à éclaircir. Lorsqu’on connaît l’arc a et son sinus, comment discerner celle des quatre déterminations qu’il faut choisir pour sin {-a ou pour cos ^ a ? Car on comprend qu’il ne doit y en avoir qu’une seule. Afin d’abréger, ne considérons que sin^a : en prenant les radicaux avec leurs différents signes, les quatre valeurs peuvent s’écrire ainsi :

sin \ a = ± £ (y/i + sin a — y/ l — sin a), sin [ a = ± j (vT+lïnâ -j- y/ 1 — sin a).

l'HKMIÈRE PARTI K.

D'abord il est évident que les deux premières sont égales et de signes contraires, et il en est de même des deux dernières. Ensuite, si on fait le carré des unes, on le trouve < J , tandis que celui des autres est > | : or, on sait (8) que sinUS0 = cos *45° = £ ; donc, en faisant abstraction des signes, les deux premières valeurs sont moindres que sin 45°, et les deux dernières sont plus grandes.

Mais, d’un autre côté, quand un arc est donné, il est toujours facile de déterminer à priori si le sinus de sa moitié est positif ou négatif, et s'il doit être moindre ou plus grand que celui de 45°. Ainsi toute indétermination cessera. Les mêmes raisonnements s’appliquent au cosinus.

Par exemple , soit a < 90°; sin {a devra être positif et moindre que sin 45°; cos^a devra être positif aussi, mais plus grand que cos 45° : donc il faudra prendre les valeurs [9] et [10] avec les signes qui y sont en évidence.

Ces formules sont, comme on le voit, appropriées aux cas des arcs moindres que 90". On a le même soin à l’égard de toutes les formules trigonométriques, parce que ces cas sont en effet les plus ordinaires.

33. Passons à la trisection des arcs. En changeant a en la, les formules [3] et [4] du n° 30 donnent

sina = 3sin Ja — 4sin’Ja, cos a = 4cos3 la — 3 cos J a.

Supposons, par exemple, qu’on donne cos a, et qu’on demande cos [ a : on posera cos a = b, cos J a = z , et la seconde équation deviendra

Telle est donc l’équation qu’il faut résoudre pour avoir cos J a. Sans entrer dans aucun détail d’algèbre, je me contenterai de montrer à priori que ses trois racines sont réelles

C’est ici un cosinus qui est donné, et la formule des arcs correspondants à ce cosinus est 2/,- H ± a (15); donc l’équation [11] a pour racines toutes les valeurs comprises dans l’expression

2AH ± a

3 = cos__

Le nombre entier k ne peut avoir qu’une des trois formes 3« ,

TRIGONOMÉTRIE

3n -f- i , 3n — 1 (n étant aussi un nombre entier) : faisons donc successivement A- = 3n, A = 3n + 4 , A = 3n — \ . Il vient, en supprimant les circonférences inutiles,

3n.2H riz a.

z = cos — cos

Z = cos

(S"H ± :) = cos (± =

/- 2H «\ /2H os\

cosrT±3)=cos(T±:3)-

Les deux dernières valeurs sont les mêmes que les deux précédentes; ainsi il y a en tout trois valeurs différentes, savoir :

Toutefois, il peut se faire que deux de ces valeurs soient égales entre elles : par exemple , la première est égale à la troisième quand a = H.

Nous n’entrerons pas dans de plus longs développements sur la division des arcs : ceux qui précèdent montrent assez la marche à suivre dans ce genre de questions.

Formules relatives aux tangentes.

34. Proposons-nous d’abord de trouver la tangente de la somme ou de la différence de deux arcs , quand on connaît les tangentes de res deux arcs.

D’après la relation établie n° 20 entre le sinus, le cosinus et la tangente, on a d’abord

sin (a -f b)

tang a-f-6 = — —

cos(a-|-A)

puis, en remplaçant sin (a -)- b) et cos (a + b) par leurs valeurs [28], il vient

. . sin a cos b + cos a sin b

tang (a -f b == r-J : r-r .

cosacoso — sin « sin 6

Pour n’avoir que des tangentes, divisons le numérateur et le dénominateur par cos a cos b, on aura

tang (a + 6) =

sin a sin b cos a ' cos 6

sin a sin b '

cos a cos b

Par les formules connues, on a

donc

sin a . sm b

= tans a et r = tang b;

cos « cos b

. tang a + tang b

tang a + b = - — 2 — —

1 — tang a tang b

tang a tang b

Au moyen d’un calcul tout à fait semblable , on trouvera , pour la différence des arcs ,

tang (a — b) =

tango — tangô

l -J- tang a tang b '