Si on cherche tang AMT, on trouve

tang AMT = -- ■■ ■~-T ■ .

(a1-) -b^xÿ

Aux extrémités du premier axe , ij est nul et alors tang AMT est infinie; donc, en ces points, la tangente est perpendiculaire à la droite qui jointoie centre au point de contact. Cela n’arrive qu’en ces points : car, pour tous les autres, ni y' ni x' n’est zéro; par conséquent tang AMT n’est pas infinie.

Quand le point M s’éloigne sur la courbe, dans l’angle ykx, x' et ÿ augmentent positivement, et peuvent même surpasser toute limite; donc tang AMT diminue positivement jusqu a zéro; donc l’angle AMT reste toujours aigu, et diminue jusqu’à zéro : c’està-dire qu’à l’infini la tangente MT se confond avec la droite AM, menée du centre au point de contact.

381. Après avoir trouvé (374), pour la tangente à l’hyperbole, au point dont les coordonnées sont x' et y', l’équation

[<] a*y'y — tfx'x = — crb',

il est facile de trouver celle de la tangente qui passe par un point extérieur. Si on représente les coordonnées de ce point par x" et y", elles devront satisfaire à l’équation [t], ce qui donne

asy"y' — 6W = — a*6!;

et puisque le point de tangence est sur l’hyperbole, on a encore a’y" — 6V* = — a’i1 :

ces deux équations déterminent les inconnues x1 et y'.

Les valeurs de ces coordonnées contiennent un radical sous lequel se trouve la quantité a'if1 — &V'1 -j- «’ft* : de là on conclut.

comme pour l’ellipse, que par un point extérieur on peut mener deux tangentes à l’hyperbole ; que ces tangentes se réduisent à une seule quand le point donné est sur la courbe ; et enfin qu’il n’y a plus de tangente possible quand ce point est intérieur.

382. La normale au point M (fig. 135) n’est autre chose que la perpendiculaire élevée, par ce point, sur la tangente; et par suite il est facile de voir que son équation est

Pour avoir la distance AS, à laquelle cette normale coupe l’axe des x, on fait y — 0, et on trouve

a’ + é* AS = —

Cette expression diminue en même temps que x'; donc, quand le point M se rapproche du sommet B, le point S se rapproche du centre A : et il ne passe jamais de l’autre côté, car AS est de même signe que af. Il y a plus; lorsqu’on donne à x' sa valeur minimum x'— a, AS atteint aussi son minimum; et de là on conclut que le pied de la normale ne dépasse jamais un certain point N

pour lequel on a AN =

383. Dans l’hyperbole, les rayons vecteurs menés au point de tangence font, avec la tangente, et de différents côtés de cette ligne, des angles égaux.

C’estrà-dire (fig. 436) que les angles FMT, F'MT, sont égaux. La démonstration étant la même que pour l’ellipse, je laisse au lecteur le soin de la développer.

384. D’après cette propriété, si on veut (fig. 157) tracer une tangente à l’hyperbole, par un point M pris sur cette courbe, on mène les rayons vecteurs FM, F'M, on prend sur l’un d’eux MK = FM, on tire KF, et on abaisse MO perpendiculaire à KF; la ligne MO est la tangente. En effet, d’après la construction, le triangle MKF est isoscèle, et la perpendiculaire MO divise l’angle F'MF en parties égales.

On peut s’assurer qu’en effet cette ligne a tous ses points hors de l’hyperbole, à l’exception du point M : car, pour tout autre, R par exemple, on a RF' — RK-<F'K; or RK = RF et F'K = 2a; donc RF' — RF < 2 a ; donc le point R est hors de l’hyperbole (368) .

385. Remarque. Le point 0 étant le milieu de FK et le centre A étant le milieu de FT, la droite AO est parallèle à F'K et égale à J F'K : or F'K = 2a; donc AO=a.

Donc, si des foyers de l'hyperbole on abaisse des perpendiculaires sur les tangentes à cette courbe, la distance des pieds de ces perpendiculaires au centre est constante et égale au demi-axe transverse; de sorte que ces points ont pour lieu géométrique la circonférence décrite sur cet axe comme diamètre.

386. Supposons maintenant qu’on veuille mener une tangente à l’hyperbole par un point extérieur T (fig. 138). Soit TR la tangente cherchée et M le point de contact ; si on mène les rayons vecteurs FM et F'M, qu’on prenne F'K = 2a, et qu’on tire KF, la tangente TM doit être perpendiculaire sur le milieu de KF ; donc TK=TF; donc le point K sera déterminé par la rencontre du cercle décrit du foyer F' avec un rayon égal à 2a, et du cercle décrit du point T avec un rayon égal à TF. Le point K étant connu,, on tire F'K et KF, puis on abaisse TR perpendiculaire sur KF : cette ligne TR est tangente à l’hyperbole, et le point M, où elle rencontre le prolongement de F'K, est le point de tangence.

En effet, d’après la construction, on a MK = MF; donc F'M — MF = FK=2a; donc le point M est sur l’hyperbole. De plus, l’angle KMT = FMT , donc TR est une tangente.

387. Quand le point T est hors de l’hyperbole, les deux cercles se coupent en deux points; car on peut démontrer que les conditions relatives à l’intersection des cercles sont alors remplies.

En effet, si on joint F T, on aura (368) F'T — TF < 2a, d’où F'T <TF + 2a; donc 1° la distance des centres est moindre que la somme des rayons des cercles. Ensuite, le triangle F'TF donne F'F < F'T-}- TF, et a fortiori 2a < F'T-}- TF -.d’ailleurs, le point T étant supposé tacitement plus près de F que de F', on doit avoir FT < FT, et a fortiori FT < F'T -}-2a : donc 2° chaque rayon est moindre que la distance des centres augmentée de l’autre rayon.

Donc les cercles se coupent en deux points, et il y a deux tangentes à l’hyperbole. La démonstration est facile à modifier poulie cas où le point T serait plus près de F que de F.

Si le point donné T est sur l’hyperbole (fig. 159), la distance des centres F’T est égale à la somme des rayons, les cercles se touchent extérieurement, et il n’y a plus qu’une seule tangente.

Si le point T est intérieur à l’hyperbole (fig. 160), la différence

FT — FT est plus grande que 2a (368), et par conséquent la distance des centres FT est plus grande que la somme des deux rayons; donc les cercles n’ont plus de point commun; donc, par le point T, on ne peut plus mener de tangente à l’hyperbole.

Des diamètres.