Soit l’équation

celle d’une droite quelconque qui coupe l’hyperbole en F et G (fig. 161). En la combinant avec celle de l’hyperbole,

[A] or y- — Alï* = — «*A%

on trouvera les coordonnées des points F et G. Par l’élimination de y, il vient

[2] (a’o8 — b *) x* -f 28pa*x + (p1 + b-) a* = 0,

OU

équation dont les racines sont les abscisses des points F et G.

La demi-somme de ces abscisses est donc égale à la moitié du coefficient du second terme , pris avec un signe contraire, et cette demi-somme est l’abscisse du milieu I de la corde FG; donc, en

— 8pa5

nommant x cette abscisse , on aura x — ■

et en mettant

cette valeur dans l’équation [1], on a l’ordonnée y =

•pAa

Supposons que 8 conservant la même valeur, p prenne successivement tous les états de grandeur : la droite FG se transportera parallèlement à elle-même, et les formules précédentes donnent toujours les coordonnées des milieux de ces cordes; donc si, pour éliminer p, on divise y par x, l’équation résultante

ou

sera celle d’un diamètre. On voit ici, comme pour l’ellipse, que les diamètres de l’hyperbole passent par le centre. Et comme on peut donner au coefficient de x toutes les valeurs possibles , en faisant

varier S de -f-oo jusqu’à — co, on conclut encore que toute droite menée par le centre peut être considérée comme diamètre.

Cette conclusion souffre cependant deux exceptions. Lorsqu’on

suppose 8 = ± - , l’équation ci-dessus devient y = riz ^ x , et on

retrouve les deux droites déjà remarquées comme étant les limites des tangentes (377). Or elles ne peuvent pas être des diamètres; car les valeurs de 8 dont il s’agit , réduisant l’équation [2] au premier degré, les lignes parallèles données par l’équation [1] ne rencontrent plus l’hyperbole qu’en un seul point, et par conséquent il n’existe pas de diamètre correspondant.