Pour l’équation du diamètre , on peut prendre

y = ci.

Mais alors il faut établir entre 8 et 8' la relation 8' = — , ou

a fi

390. Cette relation se déduirait de son analogue dans l’ellipse en changeant 6* en — 6* (336) : les conséquences sont semblables.

V 3i on nomme a la tangente trigonométrique de l’angle que la tangente, menée à l’extrémité du diamètre, fait avec l’axe des x,

on a, entre « et S', la relation a8' = — ; donc a8' = 88', d’où a = 8.

Donc les cordes, qu’un diamètre divise en parties égales, sont parallèles à la tangente menée à l’extrémité de ce diamètre.

2° Le produit 88' étant constant et égal à ne peut pas devenir

égal à — 1 ; donc les axes actuels des coordonnées sont les seuls axes de l’hyperbole, puisqu’aucun autre diamètre n’est perpendiculaire sur les cordes qu’il divise en parties égales.

3° L’équation 88' = — montre que , si le diamètre qui a pour

équation y = 8'x divise en parties égales les cordes parallèles à celui dont l’équation est y = 8x, réciproquement le second coupe en parties égales les cordes parallèles au premier. Ainsi, pour que deux diamètres soient conjugués, la condition est

391 . De deux diamètres conjugués, il n’y en a qu’un seul qui rencontre l’hyperbole. En effet, supposons que y = Sx soit l’équation d’un diamètre, et qu’on cherche ses intersections avec la courbe, on trouve pour les abscisses de ces points

x y è!a.sr

Ces valeurs de x sont réelles si on prend 8 < -, positivement ou

négativement j mais elles deviendront imaginaires si on prend

8 > ^. Dans le premier cas, le diamètre rencontre l’hyperbole; et

dans le second il ne la rencontre point. Or on voit, par la relation

88' = — , que si 8 est < - , on doit avoir 81 > donc tous les diaa* a a

mètres qui coupent l’hyperbole ont leurs conjugués parmi ceux

qui ne la rencontrent pas.

Que si on construit (fig. 162) sur les axes de la courbe le rectangle AKH'K', tous les diamètres qui traversent les angles HAK et H'AK' font avec l’axe BC un angle dont la tangente, abstraction

faite du signe, est < ^ , tandis que les diamètres qui traversent

les angles HAK' et H'AK font avec BC un angle dont la tangente

est > -; donc les premiers sont ceux qui rencontrent la courbe,

et les seconds sont ceux qui ne la rencontrent pas.

392. Dans le cas particulier où 8 = - , on a aussi 8' = - : alors

les deux diamètres conjugués se confondent avec la diagonale HH'.

Pareillement, quand 8 == — - , on a aussi 8' = — - ; et alors les

deux diamètres se confondent avec l’autre diagonale KK'. Dans les deux cas, les diamètres ne rencontrent l’hyperbole qu’à l’infini.

Des cordes supplémentaires.

393. Lorsqu’un diamètre rencontre l’hyperbole, on nomme cordes supplémentaires celles qui sont menées des extrémités de ce diamètre à un point quelconque de la courbe .

En reprenant ici tous les raisonnements et tous les calculs qu’on a faits pour l’ellipse, on trouve que si deux cordes GM et G'M (fig. 163) sont supplémentaires, et qu’on désigne par y et y' les tangentes des angles MfLc et MLx, on doit avoir

et réciproquement, toutes les fois qu’on a cette relation pour deux cordes qui passent aux extrémités d’un diamètre, ou pour deux cordes qui passent par un même point de l’hyperbole, on est assuré que ces cordes sont supplémentaires.

Dans le cas de l’hyperbole équilatère b = a, et on a simplement yy'=i , ce qui prouve que les angles formés par les cordes supplémentaires avec l’axe transverse sont compléments l’un de l’autre.

394. L’équation précédente donne des conséquences semblables à celles qu’on a déduites de son analogue dans l’ellipse. Il suffira de les énoncer.

, 1° Si deux cordes sont supplémentaires par rapport à un certain diamètre , les parallèles à ces cordes, meriées par les extrémités de tout autre diamètre, seront aussi supplémentaires relativement à ce diamètre; et ces nouvelles cordes font entre elles les mêmes angles que les premières.

2° Soit BG (fig. 164) un diamètre quelconque qui rencontre l’hyperbole, et soit MT «ne tangente : si on mène le demi-diamètre AM, la corde CN parallèle à AM et la corde supplémentaire BN, la tangente MT sera parallèle à la corde BN.

Cette propriété donne le moyen de mener à l’hyperbole une tangente qui passe par un point de cette courbe, ou qui soit parallèle à une droite donnée HK. Et toutefois, dans le dernier cas, le problème n’est possible qu’autant que la droite donnée HK est telle qu’une parallèle, qu’on lui mènerait par le centre, serait audessus des limites des tangentes (377).

3° Deux diamètres parallèles à des cordes supplémentaires sont toujours conjugués; et réciproquement, deux diamètres conjugués sont toujours parallèles à des cordes supplémentaires.

De là résulte une construction fort simple pour trouver deux diamètres conjugués qui forment entre eux des angles donnés. Cette construction est représentée dans la figure 165.

Mais il n’arrive pas ici, comme pour l’ellipse, que les angles

donnés doivent être compris entre certaines limites : car l’angle aigu des cordes supplémentaires peut passer par tous les états de grandeur, depuis l’angle droit jusqu’à zéro. C’est ce qu’on voit clairement en cherchant la tangente de l’angle CMB (fig. 1G6). Or, en supposant que BC soit l’axe égal à 2«, on trouve

tangCMB = ^t j ;

et il est visible que y croissant depuis zéro jusqu’à l’infini, la tangente de CMB décroît depuis l’infini jusqu’à zéro.

Comme il y a sur l’hyperbole deux points M et N, au-dessus de l’axe BC, pour lesquels y a la même valeur, il y a aussi deux systèmes de diamètres conjugués qui font entre eux des angles donnés; mais il n’y en a pas davantage.

•i° Les axes de l’hyperbole étant des diamètres conjugués rectangulaires, on les trouve comme ceux de l’ellipse, par une construction qui peut aussi se déduire de la symétrie de l’hyperbole relativement à ses axes. Voyez la fig. 167.

5° Enfin, le centre de l’hyperbole se découvre aussi par la même construction que celui de l’ellipse (fig. 168).

L’hyperbole rapportée à ses diamètres conjugués, etc.

393. L’équation de l'hyperbole rapportée à ses axes étant [A] «*y* — 6,xî = — a’ A* ,

on en déduira l’équation aux diamètres conjugués, en cherchant les systèmes de coordonnées pour lesquels l’équation de cette courbe ne contient les variables qu’au carré.

En conséquence, on substitue dans l’équation [Aj les valeurs

x — ar'cosa -f- y'cos a', y = .z'sina -j- ?/sina', on fait, pour abréger,

A = a’sinV — A’cosV, B = a’sin’a — A’cos’a,

C = a’sina sin *' — A’cosacosa',

et on a l’équation transformée ( 1 1 Ay'1 + Bx-'* + 2C x'y = — a'b* .

Pour qu’elle ait la forme demandée, il faut poser C=0, c’est-à-dire, [2] «Ssin a sin a' — 6*cos « cos *'= 0 ;

"284 DEUXIÈME PAKTIE.

et par là on réduit l’équation [1 ] à celle-ci [3] Ay',+ B^* = — a'P.