L’équation [2] étant divisée par ascosa cos a' donne

[6] tanga tanga' = -;

et l’on voit qu’en donnant à l’axe des x' une position particulière , ce qui revient à déterminer a, on aura une valeur réelle pour tang a ' : ainsi chaque diamètre a son conjugué. Mais il faut re-

marquer qu’on ne doit point faire tang a = ± - : car alors on n’aurait pas de vrais diamètres (388). D’ailleurs, ces hypothèses donneraient tanga' = ±;^; donc, dans les deux cas, l’axe des »/

coïnciderait avec celui des x', ce qui montre assez clairement que ces lignes ne peuvent plus être des diamètres conjugués.

De plus, comme l’éq. [6] est semblable à celle qui lie entre elles les directions des cordes supplémentaires (393) , il s’ensuit que si l’une des cordes est parallèle au premier diamètre, l’autre sera parallèle au second. On retombe ainsi sur ces propriétés déjà connues (294) : deux diamètres conjugués sont parallèles à deux cordes supplémentaires; et réciproquement, deux diamètres pai'allèles à des cordes supplémentaires sont des diamètres conjugués.

Dans l’hyperbole équilatère b = a, donc tang a tang a = i ■ donc les angles a et a' sont compléments l’un de l’autre.

398. Pour connaître s’il y a d’autres diamètres conjugués rectangulaires que les deux axes, faisons a' = 90“ a, ce qui donne sin a' = cos a et cosa' = — sina. L’équation [2] devient celle-ci (a* -f- ô*) sin a cos a = 0, qui ne peut se véritier qu’en faisant sin a = 0 ou cos a — 0 ; et ces valeurs ramènent aux axes primitifs.

399. Si on veut que les diamètres conjugués de l’hyperbole soient égaux, on égalera entre elles les valeurs de a'1 et de b'*. On aura a*sin*a — b- cos*a = — a’sinV-j-é’cosV; et, en remplaçant cos*a par 1 — sin’a, et cosV par 1 — sinV, cette équation donne

sin*a + sinV

Si on transporte le second terme de l’équation [2] dans l'autre membre, qu’on élève le tout au carré, et qu’alors on fasse les mêmes substitutions que ci-dessus , on trouve facilement

sin*a sinV

Du carré de l’équation [7] retranchons quatre fois celle-ci, il vient (sin’a — sinV)1 =0; donc

sinV = sin*a , cos V = cos’a , tang a! — ± tang a.

Mais l’éq. [6] prouve que les deux tangentes sont de même signe;

donc tang a' = tang a, et par suite l’éq. [6] donne

tang a = tang d = ± \

Ainsi, dans l’hyperbole, le calcul indique, pour diamètres conjugués égaux, deux droites réunies en une seule, et dirigées suivant l’une ou l’autre des diagonales du rectangle fait sur les axes.

400: Dans l’hyperbole il y a deux théorèmes tout à fait analogues à ceux du n° 350; et, comme ils se démontrent de la même manière, je me bornerai à les énoncer.

Théorème I. Le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est équivalent au rectangle des axes.

Théorème II. La différence des carrés des diamètres conjugués est égale à la différence des carrés des axes.

401 . De ce qui précède, il suit que, dans les problèmes relatifs à l’hyperbole, on pourra, si cela paraît plus commode, substituer, aux éq. [2], [4] et [5], celles-ci qui en sont déduites :

tang a tang <* = — .

a! b' sin (a — a) = ab,

La dernière montre que si a == b, on a aussi a' — b'; donc, dans l’hyperbole équilatère, les diamètres conjugués sont égaux. Cette propriété a lieu dans le cercle; mais les diamètres conjugués y sont rectangulaires,. tandis que, dans l’hyperbole équilatère, ils font avec Taxe transverse des angles compléments l’un de l’autre.

Dans les hyperboles ordinaires, a étant différent de b, a' ne saurait être égal à b1, et il n’y a pas, à proprement parler, de diamètres conjugués égaux.