En ôtant les accents des variables, l’éq. [A,] sera

[A,] a'*y* — b'txi = — a'1 b'*.

Elle est toute semblable à l’éq. [/«] relative aux axes; donc les propriétés indépendantes de l’inclinaison des ordonnées seront communes aux axes et aux diamètres conjugués. Ainsi :

1° Les carrés des ordonnées, parallèles au second diamètre, sont entre eux comme les produits des segments formés sur le premier (363).

2“ Selon qu’un point donné est situé sur l’hyperbole, ou au

dehors ou au dedans, la quantité a’* if — b'ixi + a'b'* sera nulle, positive ou négative (364).

3° En désignant par a le rapport de sinus , égal au coefficient de x dans l’équation générale de la ligne droite, on aura pour la valeur de », relative à la tangente (374),

et l’équation de la tangente sera encore a'*î/y — à'*sdx = —

Les limites des tangentes auront pour équation (377)

d’où l’on conclut qu’elles se confondent avec les diagonales du parallélogramme construit avec les diamètres conjugués (tig. 169). La sous-tangente est encore (378)

et on aura toujours entre les valeurs de a et de a', relatives à la tangente et au diamètre mené par le point de tangence, la relation

4° Si y — Sx + p est l’équation d’une corde quelconque de l’hyperbole, et si y — o'x est celle du diamètre qui passe par les milieux des cordes parallèles , on aura (389) la relation

et cette relation a encore lieu pour deux diamètres conjugués dont les équations seraient y — Sx et y = o'x (390), aussi bien que pour deux cordes supplémentaires menées aux extrémités d’un diamètre quelconque (393).

403. L’hyperbole étant rapportée à deux diamètres conjugués, si on veut lui mener des tangentes par un point extérieur, et qu’on répète les mêmes raisonnements que pour l’ellipse (338), on aura ce théorème :

Si de chaque point d’nne droite donnée , on mène deux tangentes

à une hyperbole , et qu'on tire une droite par les deux points de contact, on aura des sécantes qui se rencontreront toutes au même point sur le diamètre conjugué de celui qui est parallèle à la droite donnée.

Et réciproquement, si, par un point donné dans le plan d’une hyperbole, on tire différentes sécantes, et que, par les points o'u chaque sécante rencontre la courbe, on mène deux tangentes, le lieu des points d’intersection de ces tangentes, ainsi prises deux à deux, sera une droite parallèle au diamètre conjugué de celui qui fiasse par le point donné.

404. L’éq. [A,] montre encore que, pour décrire une hyperbole dont on connaît deux diamètres conjugués, il faut décrire une hyperbole sur ces diamètres comme s’ils étaient les axes, et incliner ensuite convenablement les ordonnées.

Des asymptotes.

40o. Supposons que l’équation

asy* — b'x' = — a' b'

soit celle d’une hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués quelconques : on tire

y = ± - Jx* — a’, a

Si on fait abstraction du terme — à1, qui se trouve sous le radical on aura deux droites représentées par les équations . b b

y=+-ax> y=-~ax>

et ces droites seront les asymptotes de l’hyperbole. Cela est évident d’après la règle donnée à la lin du n° 248; mais on peut le démontrer directement.

Pour plus de clarté , ne considérons sur la courbe et la droite que les parties situées dans l’angle yAx (fig. 170) : la différence des ordonnées, correspondant à une même abscisse, sera

MN = -(x — <Jx* — a’).

Comme la partie positive + x est la partie négative — sjxx — a* croissent et deviennent infinies en même temps, on ne reconnaît pas immédiatement si cette différence va en diminuant. Mais une

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 289 transformation connue, et déjà employée n“ 248, donne

MN V^*— ' + — ' «*). ab

a a;-f -\fx* — a* x-\-\Jxf — a'

alors on voit clairement qu’en faisant croître x jusqu’à l’infini, MN décroît jusqu’à zéro. On raisonne de la même manière pour les portions d'hyperbole comprises dans les autres angles , et on conclut que les deux droites dont il s’agit sont en effet les asymptotes.

406. Si on construit sur les diamètres conjugués (fig. 170) un parallélogramme HKHK', les équations des diagonales HH' et KK'

sont y = ± —, x. Donc les asymptotes de l'hyperbole coïncident avec

les diagonales du parallélogramme formé sur deux diamètres conjugués quelconques.

En rapprochant cette conséquence du n" 402 , on voit que les asymptotes peuvent aussi être considérées comme limites des tangentes.

407. Les côtés HK, H'K', menés par les extrémités du premier diamètre BC, sont tangents à l’hyperbole, et divisés en parties égales aux points B et G, de sorte qu’on a BH = BK = b' ; donc, en terminant la tangente aux points où elle rencontre les asymptotes, on peut dire qu'elle est divisée en deux parties égales par le point de contact, et qu’elle est égale et parallèle au diamètre conjugué de celui qui aboutit à ce point.

Il suit de là qu’on peut facilement mener la tangente en un point B de l’hyperbole, lorsqu’on connaît les asymptotes. En effet, si on mène BQ parallèle à l’une d’elles, à AH par exemple, qu’on prenne QK = AQ , et qu’on mène la droite KBH , elle sera la tangente cherchée : car, à cause des parallèles BQ et AH, on a BH = BK.

Il est facile aussi, quand on donne un diamètre qui rencontre la courbe, de trouver son conjugué : car, ayant mené la tangente HK par l’une des extrémités de ce diamètre, il suffira de mener la droite DE parallèle à HK, et de prendre AD = AE = BH.

408. La propriété de la tangente n’est qu’un cas particulier de ce théorème général : les portions d’une sécante quelconque, comprises entre l’hyperbole et ses asymptotes , sont égales entre elles.

Il s’agit donc de démontrer que M'N'=MN (fig. 474). Par le milieu P de MM' et par le centre A , menons le diamètre Kx , et supposons qu’il rencontre l’hyperbole en B : son conjugué ky sera

parallèle à MM'. Or, si par le point B, entre les asymptotes, on mène HK parallèle à A y, on doit avoir BH = BK; donc Ax divise en parties égales toutes les parallèles à HK , comprises entre les asymptotes ; donc NP=N'P ; donc NP— MP=N'P— M'P ; donc MN=M'N\

La démonstration ne serait pas plus difficile si le diamètre Ax ne rencontrait pas (l’hyperbole.

On a maintenant un nouveau moyen très-simple de décrire une hyperbole , quand on en connaît un point M ainsi que la position des asymptotes. On mène de ce point une droite quelconque NMN', qu’on termine aux asymptotes; et en portant NM de N’ en M' le point M' appartient à la courbe. En répétant cette construction, on trouve autant de points qu’on veut.

Pour le tracé , il est commode de ne pas mener toutes les lignes par un seul point M, et de faire servir à cet usage quelques-uns de ceux qu’on détermine. On évite ainsi la confusion qui résulterait d’un grand nombre de lignes passant par un même point.

On peut employer cette construction quand on connaît la grandeur et l'angle de deux diamètres conjugués; car alors on connaît deux points de l’hyperbole, et il est facile de déterminer les asymptotes.

409. En désignant par a et b les demi-diamètres conjugués AB et AD (fig. 171), l’équation de l’hyperbole rapportée à ces deux diamètres est

a*y* — b'x* — — a!è’, et celle de l’asymptote AH est

En nommant y et Y les ordonnées de la courbe et de la droite , qui répondent à la même abscisse AP, on a b'x* b *

mais Y— y = MN, et Y + y = PM + PN = PM + PN' = MN'; donc MN x MN' = Y* — y* = b\

Si la sécante était parallèle au diamètre 2a, on ferait voir semblablement que MV x MV' = a*.

Donc, lorsqu'une sécante à l’hyperbole est parallèle à un diamètre, le rectanyle des parties de cette sécante , comprises entre un point de la courbe et les asymptotes, est égal au carré du demi-diamètre.

De là résulte un moyen de trouver deux diamètres conjugués,

quand on connaît Ja direction de l’un d’eux Ay, les asymptotes et un point de la courbe. Par le point connu M, on mène, entre les asymptotes, NM N' parallèle à A y : le demi-diamètre AD sera moyen proportionnel entre MN et MN'. Connaissant AD, on mène A x par le centre A et par le milieu P de NN'; on mène aussi, parallèlement à Ax, la ligne DH qui coupe l’asymptote en H; enfin on mène, parallèlement à AD, la droite HB qu’on termine à Ax en B : AB sera le demi-diamètre conjugué de AD.

La même propriété sert encore à trouver les axes quand on a deux diamètres conjugués : car alors on connaît un point de l’hyperbole, on peut tracer les asymptotes et avoir la direction des axes en divisant en parties égales les angles des asymptotes. Le reste s’achève facilement.

440. Les droites BQ, BR (fig. 170), étant menées parallèles aux asymptotes, le triangle ABR est égal à ABQ: mais les triangles ABQ et BQK sont équivalents puisque AQ = QK; donc le parallélogramme AQBR est équivalent au triangle ÂBK. Or, ce triangle est la huitième partie du parallélogramme HKH'K', dont l’aire est constante quelle que soit la position du point B (400); donc l’aire du parallélogramme formé par les asymptotes de l'hyperbole et par les parallèles menées à ces lignes, d’un point quelconque de la courbe, est constante, et égale à la huitième partie du rectangle des axes ou du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués.

L’hyperbole rapportée à ses asymptotes.

444. Si on prend l’asymptote inférieure (fig. 472) pour la ligne des x, et l’asymptote supérieure pour celle des y; si par un point quelconque de l’hyperbole on mène les coordonnées MP, MQ, et si on désigne par p l’angle des asymptotes, faire du parallélogramme APMQ sera exprimée par #ysinp. Cette aire doit être constante et égale à la huitième partie du rectangle des axes; donc, si ces axes sont donnés et qu’on les représente par 2a et 24, l’équation de l’hyperbole, rapportée à ses asymptotes, sera

. „ ab ab

sys,niJ = — ou ^ = 55^.

On peut exprimer sin p au moyen de a et de b. Élevons à l’extrémité du premier axe la perpendiculaire BH terminée à l’asym-

ptote Aÿ : la ligne BH sera égale à 6, et, si on désigne par 6 l’angle BAH, le triangle ABU donnera

sinô =

cos8:

vV-M1

2aè

Or, sin p = sin 28 = 2sin8 cos0 ; donc sin p = i Par consé-

quent l’équation de l’hyperbole devient

IAJ

xy.

La forme de cette équation rappelle sur-le-champ que les asymptotes sont prises pour axes des coordonnées : car on en tire

y=-ïT>

valeur qui est nulle lorsque x = ± co, et qui augmente de zéro à dzoo quand on fait décroître x jusqu’à zéro. Il en est de même des valeurs de ^comparée s à celles de y.

412. Quand on veut trouver l’équation aux asymptotes en partant de l’équation aux axes |A] ay—b'x'— — a'bi,

on a recours aux formules

x == x' COS a -f- y' COS a', y = x! sin a -j- y' si n a’.

Il faut d’abord y mettre au lieu de sin a, cos a, sin a', cos a', les valeurs qui se rapportent aux nouveaux axes dont on fait choix. En prenant, comme dans le numéro précédent, les x' sur l’asymptote inférieure Ax' (fig. 173), et les y' sur l’asymptote supérieure Aÿ', l’angle a' sera égal à y'Ar, et l’angle a égal à 360° — xfkx. Or, si on élève, à l’extrémité de l’axe transverse la perpendiculaire BH = b, le point H doit être sur l’asymptote; par conséquent le triangle ABH donne, comme plus haut,

sina' = — - cos a’ = —— — . Puis, si on observe que y/ a’-j- 6* y/a’-f- b’

a = 360° — a', on aura

siûot = — sina =- — , cos a = cos a = — .

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 223 Par suite, les formules, pour passer des axes aux asymptotes, sont

x = + ^ „ = Mzz. îl

vV-f A1)’ ' v/«* + *’)

Il n’y a donc plus qu’à substituer ces valeurs dans l’équation [A].

Il vient ainsi, en ôtant les accents dont on n’a plus besoin,

l*J æy = !(«* + A’):

Pour plus de simplicité, posons } (n* -(- A’) = m’, l’équation sera [A,] xy = m'-.

Telle est l’équation de l’hyperbole rapportée à ses asymptotes. Le carré m i se nomme la puissance de l’hyperbole.

Al 3. Soient a i, y\ et x”, y", les coordonnées de deux points de l’hyperbole, si on mène une sécante par ces points, et si on fait

l’équation de la sécante sera

On doit avoir xfy' == m’, x"y" == mu, et, en retranchant la 2“ égalité de la 1 re, il vient x'ÿ — x"y" — 0. Cette équation peut s’écrire ainsi x\xj — y") + y"(x' — x") = 0, et alors on en tire

Si on veut que la droite devienne tangente, il faut supposer x" = a/, y" — y'. Par ces hypothèses, a se réduit à — ^ ; par conséquent l’équation de la tangente sera

y — y' = |(ar — x’).

414. En faisant y = 0 dans cette équation, on trouve, pour le pied de la tangente MT (fig. 174), x = AT = 2x'; donc AT = 2AP et par suite MT = MR, comme au n° 407.

415. Reprenons l’éq. [1] de la sécante MM'. En y faisant y=0,

il vient x' — x = PS = — — j puis, en remplaçant a par sa valeur

y" yV t/'x"

générale — relative à la sécante, on a PS = — - =

Si on ajoute d’abord les deux premiers rectangles, ensuite les trois premiers, puis les quatre premiers, et toujours de même, les sommes seront 2(x' — 1), 3(x' — 1), i[xf — \), etc. Donc les aires rectangulaires, commençant à l’abscisse AC = t , et terminées aux abscisses successives, pourront se représenter comme il suit :

abscisses t, x' z?*, a/’, z!' ou x ,

aires 0, x' — 1, i(x’ — 1), 3(zf — l),...n(a^ — 1).

On met zéro pour la première aire, parce que l’aire comprise entre BC et BC lui-même est nulle.

On voit que les abscisses forment une progression géométrique qui commence par l’unité, et les aires une progression arithmétique qui commence par zéro ; donc les aires rectangulaires, comprises entre BC et les autres ordonnées successives, sont les logarithmes des abscisses auxquelles ces ordonnées correspondent.

Cette conséquence étant indépendante du nombre des divisions faites sur CP, doit s’appliquer encore au cas où leur nombre devient infini, ou, en d’autres termes, au cas où, au lieu de passer du point C au point P par un nombre fini d’abscisses en progression géométrique, on passerait successivement par toutes les abscisses intermédiaires. Mais alors les aires rectangulaires ne sont plus autre chose que les aires hyperboliques comprises entre CB et les ordonnées correspondant à ces abscisses. De la résulte ce beau théorème, que les aires hyperboliques telles que BCPM sont les logarithmes des abscisses correspondantes AP.

Quelle est la base du système dans lequel se prennent ces logarithmes? Cette question revient à déterminer un nombre tel qu’en l’élevant à la puissance indiquée par l’une de ces aires , on trouve pour résultat l’abscisse correspondante. Reprenons, dans les progressions ci-dessus, les termes correspondants

x et n[x' — 1),

dont le second exprime la somme des rectangles compris entre BC et MP. En faisant n = cr-, cette somme doit devenir égale à l’aire hyperbolique BCPM : c’est pourquoi je poserai l’équation

et je déterminerai la valeur de E qui répond à la valeur «= co. Nous aurons alors la base cherchée.

Comme la valeur de E doit rester la même quel que soit x , je

DEUXIÈME l’VKTIh.

choisirai pour x la valeur qui rend l’exposant de E égal à 1 , lorsqu’on fait n = oo, En conséquence, je poserai

Il ne faut pas oublier qu’on a afn — x, de sorte que cette équation revient à celle-ci

c’est donc de cette dernière équation qu’il faut tirer la valeur de x correspondant à n = cc..

Elle donne d’abord

Ensuite, si on développe la puissance, il vient

, , n /i\ , n n— 1 fi\* n n — I n — 2 /i\*

* + r(d + r-— (;) +!•—• — (;) +clc'

+ G â)G l;)(ï è) +etc-;

et, en supposant n = co, on trouve

x=2 + ^ + ô+ôr*+etc-

On démontre en algèbre que la valeur exacte de cette série numérique est irrationnelle. Mais si on prend dans la série un nombre suffisant de termes, on peut obtenir cette valeur avec une aussi grande approximation qu’on veut. En la désignant, selon l’usage , par e, on trouve

Maintenant, pour l’indéterminée x, prenons cette valeur particulière, et l’équation [1] devient

Mais l’équation [2] doit se vérifier en posant x = e et n = donc l’exposant de E, dans l’équation [3], se réduit à 1 quand on fait n = oo, donc E = e. Ainsi, c’est le nombre e qui est la base du système dans lequel il faut prendre les logarithmes des abscisses AP, (jour avoir les aires hyperboliques telles que BGPM.

Ces logarithmes sont ceux que Néfer, inventeur des logarithmes, calcula d’abord, et on leur donne le nom de Népériens. Je les indiquerai par la lettre L, et en conséquence j’écrirai

aire BCPM = Lx.

Cette formule donne aussi les aires qui répondent aux abscisses < AC , pourvu qu’on regarde comme négatives les aires telles que BCQN, qui sont placées à gauche de BC. En effet, si on mène BG et NH perpendiculaires sur Ay, on aura BGHN = Ly : car tout est semblable pour chaque asymptote. Or BCQN = BCAG BGHN — NQAH, et, à cause de xy = l, on a BCAG = NQAH = 1; donc

BCQN= BGHN = Ly = L - = — Lx.

417. Jusqu’ici l’on n’a considéré que l’hyperbole équilatère donnée par l’équation xy=4. Maintenant supposons plus généralement que les asymptotes fassent entre elles un angle yAx = p (fig. 176), et qu’on ait l’équation

xy — m*.

Menons A rj perpendiculaire sur Ax, et concevons qu’on ait décrit sur les axes rectangulaires Ax et A ÿ l’hyperbole équilatère qui a pour équation xy = 1 . Si on prend AC = 1 et AP == x, si on mène les ordonnées correspondantes des deux hyperboles, et si on désigne par S et s les surfaces BCPM, B'CPM', il sera facile de démontrer, par un raisonnement semblable à celui du n» 338, que

S m% sin 8 „ , , . „ T

- = — - — , dou S = mîsm3xLx.

si

On peut , si on veut , regarder l’aire S comme étant elle-même le logarithme de x; mais il faut prendre alors les logarithmes dans un système qui aurait pour module m* sin S (On nomme ainsi la quantité constante par laquelle il faut multiplier les logarithmes népériens pour les transporter dans un autre système).