L’équation \p ] donnant

y = ±\fïpx,

on voit que la courbe ne s’étend pas vers les x négatifs ; car x négatif rend y imaginaire. Mais, si x croît depuis 0 jusqu’à -J- oo; y croît aussi jusqu’à ±co; donc la parabole s’étend à partir de l’origine jusqu’à l’infini, symétriquement au-dessus et au-dessous de l’axe des x. Elle doit d’ailleurs être toujours concave vers cet axe, ainsi que le représente la figure 177 : autrement, on pourrait la couper en plus de deux points par une droite, ce qui est impossible.

La parabole n’a qu’un sommet : c’est le point où elle est rencontrée par son axe. Le coefficient de x dans l’éq. [/j] par lequel une parabole diffère d’une autre parabole, se nomme paramètre.

420. Le rapport du carré de l’ordonnée à l’abscisse étant constant d’après l’équation même , il s’ensuit que dans la parabole les carrés des ordonnées , perpendiculaires sur l’axe, sont entre eux comme les distances du sommet aux pieds de ces ordonnées.

421. Pour chaque point de la parabole on a y* — lpx—0. Si on considère un point extérieur K, et qu’on mène sur Ay la perpendiculaire QK dont le prolongement rencontre la parabole eq M, l’abscisse du point R sera moindre que celle du point M, et l’ordonnée sera la même; donc au point K on devra avoir y* — 2px>0. Un raisonnement semblable montre que pour un point intérieur K' on a y* — 2 px < 0. Ainsi on a toujours

y*— 2 px — 0 sur la parabole, y* — 2 px > 0 hors de la parabole, y* — 2/m; < 0 dans la parabole.

422. On peut décrire très-simplement la parabole. Soit (fig. 177) AP une abscisse quelconque, on porte sur l’axe kx, à gauche du sommet, une distance AB égale au paramètre 2 p ; on décrit, sur BP, comme diamètre, une circonférence qui coupe au point R la perpendiculaire Ay; enfin on élève l’ordonnée PN, qu’on termine à la droite RN parallèle à Ax : le point N appartient à la parabole. En effet, par cette construction, PN=ARetAR1=ABxAP; donc PNJ=2pX AP.

423. On a vu (260) que dans le cas de la parabole les coordonnées du centre sont infinies. Cela conduit à considérer cette courbe comme une ellipse infiniment allongée; et cette analogie pouvant être utile pour prévoir avec facilité les propriétés de la parabole, il importe de la vérifier. Prenons (296) l’équation

[e’] y*=^(2ax — a;*),

dans laquelle l’origine est au sommet A de l’ellipse (fig. 178). La distance OF, du centre au foyer, est v «! — è’; et en la retranchant de « on a AF = a — <Ja’ — 6*. Introduisons cette quantité dans l’équation de l’ellipse, comme constante que nous prendrons égale à J p : on aura a — i/a* — b' — { p, d’où b'—ap — \pl. Par la substitution de cette valeur, l’équation [e'] devient

y^a^=M^ax-x%

ou, en développant convenablement le second, membre, y* = 2 px-

px {p + 2x) ptxf

Si dans cette équation on donne successivement à a différentes va-

DEUXIÈME 1‘AKTIE.

leurs, p restant constant, on aura une suite d’ellipses dont les grands axes seront différents, mais dont le sommet A et le foyer F conserveront la même position. Or, en augmentant le grand axe jusqu’à l’infini, il faut supprimer les termes qui contiennent a en diviseur; la dernière équation se change donc en celle-ci,

y* = V.px,

qui est précisément celle de la parabole. Ainsi on peut prendre a si grand que la différence entre l’ordonnée de l’ellipse et celle de la parabole soit aussi petite qu’on voudra, ce qui revient à dire que la parabole est une ellipse dont le grand axe est infini.

Du foyer et de la directrice.

424. Les coordonnées étant rectangulaires, et l’équation de la parabole étant y- = 2 px, on nomme foyer le point dont la distance à un point quelconque de la parabole est une fonction rationnelle de l’abscisse de ce point.

Considérons (fig. 178) la suite des ellipses qui ont un sommet A et un foyer F communs, la distance de ce foyer à un point quelconque de chacune de ces courbes est une fonction rationnelle de l’abscisse OP comptée à partir du centre; elle est donc aussi une fonction rationnelle de l’abscisse AP comptée à partir du sommet; car OP = AP — AO. Or, la parabole est la limite de ces ellipses; donc la distance du point F à chaque point de cette courbe est encore une fonction rationnelle de l’abscisse de ce point. D’ailleurs, AF étant représentée par { p, le paramètre de la parabole est égal à 2 p; donc cette courbe a pour foyer un point situé sur son axe, à une distance du sommet égale au quart du paramètre.

423. Dans l’ellipse, la somme des rayons vecteurs, menés des foyers à un même point de cette courbe, est égal au grand axe : cherchons la propriété correspondante dans la parabole.

Soit une ellipse (fig. 178) dont le grand axe est AA', et dont les foyers sont F et F'. Décrivons du point F' comme centre, avec AA' pour rayon, une circonférence HBH'; elle coupera l’axe en un point B à une distance AB ==■ AF. Menons deux rayons vecteurs FN, F'N, à un point quelconque de l’ellipse, et prolongeons F'N jusqu’à sa rencontre K avec la circonférence, on aura évidemment FN = NK. Maintenant supposons que l’ellipse conserve toujours

le sommet A et le foyer F, mais que son grand axe augmente jusqu’à devenir infini. A cette limite, l’ellipse devient une parabole, la circonférence HH' se change en une droite LL' perpendiculaire à l’axe au point B, et la ligne NK devient perpendiculaire à LL', sans cesser d’étre égale au rayon vecteur NF. La perpendiculaire LL', qui passe à une distance du sommet égale à AF ou au quart du paramètre, porte le nom de directrice. Donc chaque point de la parabole est également éloigné du foyer et de la directrice.

Il est d’ailleurs facile de reconnaître qu’à la limite a = ce, l’une des directrices de l’ellipse devient LL'. En effet, d’après le n° 315, c et d étant les distances du centre aux foyers et aux directrices, on doit avoir cd — a s. Nommons d' la distance du sommet à la directrice voisine, on aura c = a—r%ip, d = a-\- d', et par suite (a — \ p) (a -}- d') = a*, d’où

En faisant 0 = 00, il vient d' = \p, ce qui donne la ligne LL'.

426. Pour trouver directement le foyer de la parabole, on applique à la définition les calculs déjà faits pour l’ellipse et pour l’hyperbole. Désignons par x', ÿ, les coordonnées du foyer inconnu; par x, y, celles d’un point quelconque de la parabole; et par 8 la distance de ces deux points : on aura

8’ = (x — x')* -j- (y — j/')1 = xt — 2x'x -f- x'1 -j- y* — 2 y y -f- y'1.

L’équation de la parabole donne y = \/2 px; donc, pour que 3! soit une fonction rationnelle de x, il faut faire ÿ — 0. Cette supposition donne

8* = x* — 2x'x -f- x'1 -f- 2px = x’ + 2 [p — x1) x -|- x'*.

Il ne suffit pas que 8* soit une fonction rationnelle de x, il faut que 8 lui-même en soit une : cette condition exige qu’on ait

( p — x')’ = x'*, d’où x" = \ p ;

donc dans la parabole il n’existe qu’un foyer, lequel est situé sur l’axe à une distance du sommet égale au quart du paramètre.