En mettant ‘ p au lieu de x', il vient

Si on prend (fig. 179) AB = AF = 1 p, et qu’on élève BL perprn-

diculaire à l’axe Ax, le point F sera le foyer de la parabole, et BL en sera la directrice. Si ensuite on mène, d’un point quelconque de cette courbe, le rayon vecteur FM et les lignes MP et MQ perpendiculaires sur Ax et BL, on aura

FM = x + ï /> = AP 4B = MQ ;

et ainsi on retrouve que chaque point de la parabole est également éloigné du foyer et de la directrice.

428. Soit N un point extérieur à la parabole; menez NQ perpendiculaire à la directrice, prolongez NQ jusqu’à sa rencontre M avec la courbe, et joignez le foyer F aux points N et M : on a NF-j- MN > MF, et MF = MQ = NQ + MN; donc NF + MN > NQ -f MN, ou bien NF > NQ.

Pour un point intérieur N', on a, en suivant les constructions de la figure , N'F < N'M + MF : or, N'M + MF = N'M -f MQ = N'Q ; donc N'F <N'Q.

Donc, selon qu’un point est sur la parabole, ou au dehors, ou au dedans, sa distance au foyer est égale à sa distance à la directrice, ou elle est plus grande, ou elle est moindre.

429. Il est facile de construire une parabole dont on connaît le paramètre 2 p. Ayant pris (fig. 180) AB = AF = J p, on élève une perpendiculaire GH par un point quelconque P de l’axe; puis, avec BP pour rayon et le point F pour centre, on décrit un arc de cercle qui coupe GH en M et N. Ces points sont à la parabole : car ils sont également distants du foyer F et de la directrice BL.

Pour décrire la parabole d’un mouvement continu, placez contre la directrice BL une équerre mobile EQR, prenez un fil d'une longueur égale à QR, attachez une de ses extrémités en R, et l’autre au foyer F ; tendez alors ce fil par le moyen d’un style appliqué contre QR, et faites glisser l’équerre le long de la directrice : le style décrira la parabole. En effet, on aura toujours FM -j- MR = QM -f- MR, donc FM = QM; donc le point M est à la parabole.

430. Cherchons encore l’équation de la parabole d’après l’énoncé suivant, qui est celui du n° 316, dans lequel on fait m — n.

Trouver la courbe qui jouit de la propriété d’avoir chacun de ses points également distant d’un point donné F et d’une droite donnée LL' (fig. 1 80).

Je mène BFx perpendiculaire à LL', et par le point A, milieu de BF, j’élève A y perpendiculaire sur Ax. La courbe cherchée sera

symétrique par rapport à kx et passera au point A : c’est pourquoi l’on choisit les lignes kx et kij pour axes de coordonnées. Soit M un point quelconque de la courbe, AP son abscisse, et MP son ordonnée : je mène MQ perpendiculaire sur LL', et je fais AF = \p, kP — x, MP = y.

Gela posé, MF* = y’ + (x — { pf et MQ = x -f- J- p : or , on doit avoir MF = MQ: donc l’équation de la courbe sera y* -f [x — [p)* — (x -(- jpY, ou bien, toutes réductions faites, y* = %px.

431. Ici encore on peut appliquer au foyer et à la directrice de la parabole ce qui a été dit au sujet de l’ellipse n°‘ 317 et 318.

De la tangente et de la normale.

432. Les coordonnées de deux points de la parabole étant x', ÿ, et x", y", si on mène une sécante par ces deux points, et qu’on désigne par S l’angle formé par cette sécante avec l’axe des x , on a

tan's“^?-

Les deux points étant sur la parabole , on doit avoir y'* = 2 px', y"* = 2yx"; par suite, il vient y" — y"1 = 1p [x' — x"), d’où

x'—xf' ÿ + y"

7,; donc

tangS :

Quand le second point se réunit au premier, on a x"=xf, y"— y', et alors la sécante devient tangente; donc , si on désigne par a. la tangente trigonométrique de l’angle formé avec l’axe des x par la tangente à la parabole , on aura ,

a—p CL = — : .

Par suite l’équation de la tangente sera y — \j — ~ (x — x1), ou bien , en observant que xj% = 2 px!,

433. Le double de cette équation étant retranché de l’équation y” = 2/jx', on trouve y'8 — 2 y'y=? — 2 px; et en ajoutant y* de part et d’autre , il vient

(y— .y? = ys— %p*-

Ensuite, comme la normale doit être perpendiculaire à la tangente, on doit avoir

et par suite, l’équation de la normale devient

En faisant y — 0 dans cette équation, la valeur correspondante de x — x' sera celle de la sous-normale PS (fig. 181). On trouve ainsi PS = x — x'= p ; donc, dans la parabole, la sous-normale est constante et égale à la moitié du paramètre.

438. Le foyer de la parabole étant en F (fig. 481), on a vu que AF = ip et FM = x -f- \p. La tangente au point M étant MT, on a vu aussi que AT — x. Par conséquent TF =x-|- J p-, donc FM— TF et l’angle TMF = FTM. Ainsi, dans la parabole , la tangente fait des angles égaux avec l’axe et avec le rayon vecteur mené au point de contact.

Si on mène MG parallèle à l’axe, l’angle RMG = FTM ; par conséquent, on peut encore dire que la tangente fait des angles égaux avec le rayon vecteur et avec la parallèle à l’axe, menée par le point de contact. Dans cet énoncé on reconnaît un théorème analogue à celui du a° 330, et qui devait naturellement résulter de ce que la parabole est une ellipse dont les foyers sont infiniment éloignés l’un de l’autre.

439. On tire de là un moyen très-simple de mener une tangente à la parabole par un point donné. Supposons d’abord que ce point soit en M sur la courbe (fig. 182) : menez le rayon vecteur FM, prenez FT = FM, et tirez TM : ce sera la tangente demandée.

Pour le démontrer à posteriori, on mène la directrice BL à la distance AB = AF =%p, on tire MK parallèle à l’axe, et on joint KF. Par la nature de la courbe MK = MF (428), et il résulte de la construction que l’angle KMT = TMF, donc MT est perpendiculaire sur le milieu de. KF. Maintenant, si d’un point quelconque R, pris sur MT, on mène la droite RF au foyer, la droite RL perpendiculaire à BL, et qu’on joigne KR, on aura RF = RK : or, RK est > RL; donc RF > RL. Ainsi, chaque point de MT, excepté le point M, est hors de la parabole (428).

440. Remarque. Le point A est le milieu de BF : donc la ligne A y,

perpendiculaire à l’axe, doit passer au point 0, milieu de KF. Or, la tangente TR passe par ce point et est perpendiculaire à 0F; donc, si du foyer de la parabole on abaisse des perpendiculaires sur les tangentes à cette courbe, les pieds de ces perpendiculaires ont pour lieu géométrique la droite menée par le sommet , perpendiculairement à l'axe.

441. Quant la tangente doit être menée par un point T situé au dehors de la parabole (tig. 183), on observe que, si M est le point de contact cherché et MT la tangente, en menant MF au foyer et MK perpendiculaire à LL', la tangente MT doit être perpendiculaire au milieu de FK; donc les distances TF et TK sont égales; donc le point K sera connu par l’intersection de la directrice avec le cercle décrit du centre T, avec FF pour rayon. Alors, en joignant KF et abaissant TR perpendiculaire sur KF", la ligne TR sera tangente à la courbe, et le point de contact sera l’intersection M de cette tangente et de la ligne KM parallèle à l’axe.

Quand le point T est hors de la parabole, sa distance TF au foyer est plus grande que sa distance à la directrice; donc le cercle coupe la directrice en deux points K, K', et il y a deux tangentes. Quand le point T est sur la parabole, TF est égale à la distance du point T à la directrice; donc le cercle touche cette ligne, et il n’y a plus qu’une seule tangente. Enfin, quand le point T est intérieur à la parabole, la première distance est moindre que la seconde, le cercle n’atteint pas la dierctrice, et il n’y a plus de tangente.

442. La construction précédente peut être considérée comme une modification de celle qui a été donnée pour l’ellipse (333), modification qui résulte de ce que la parabole est une ellipse dont le grand axe est infini.

Dans la construction donnée pour l’ellipse, on décrit une première circonférence LBL' (fig. 184) de l’un des foyers, F, avec un rayon F'B égal au grand axe AA'; puis on en décrit une seconde du point donné T comme centre, avec un rayon égal à la distance TF* de ce point à l’autre foyer. Le point K étant une des intersections de ces deux circonférences, on joint KF, on abaisse TR perpendiculaire à KF", et on mène KF' qui coupe TR en M; TR est la tangente, et M le point de contact.

Maintenant imaginons que, l’ellipse continuant d’avoir le point A pour sommet et le point F pour foyer, le grand axe devienne infini : les points A' et F' s’éloigneront à l’infini; mais comme on

a AB=A'F' = AF, la CH«etiféreace LU!.' continue toujours de rencontrer Taxe au même point U. Quand AA' est inüui, cette circonférence devient directrice de la parabole, la ligne KF devient parallèle à l’axe, et on retombe ainsi sur la construction qui convient à la parabole.

443. Le cas où les tangentes partent d’un point placé sur la directrice mérite d’être remarqué. Soit T \tig. 185) un point de la directrice, et TM, TM', deux tangentes. Soit F le foyer de la parabole, joignez TF, MF, M'F, et menez MK, M'K', perpendiculaires spr la directrice.

Le triangle TKM est égal à TFM, à cause de MT commun, de KM = MF, et de l’angle KMT = FMT; donc l’angle TFM e6t droit comme égal de l’angle K, et de plus l’angle KTM = FTM. Les triangles TM'K', TM'F, sont aussi égaux, et ils prouvent que l’angle TFM' est droit, et que l’angle K'TM' = FTM'.

Puisque les angles TFM, TFM' sont droits, il s’ensuit que la ligne MFM' est droite; et puisque les angles; FTM et FTM' sont égaux aux angles KTM et K'TM', il s'ensuit que leur somme est égale à un droit : donc l’angle MTM' est droit. Ainsi on a ce théorème remarquable :

Les tangentes menées à la parabole, par un point de la directrice, font entre elles un angle di'oit; et la droite qui unit les points de contact passe au foyer, et est perpendiculaire sur celle qui joint le foyer avec le point d’où partent les tangentes.

Des diamètres.