Soit l’équation d’une droite quelconque, y = 8* -j- p

si on la combine avec celle de la parabole y* = 2 px , et qu’on élimine x, on aura, pour déterminer y,

Les racines de cette équation sont les ordonnées des points où la droite rencontre la courbe, et l’ordonnée du milieu de la cqgdc qùi joint ces points est égale à la demi-somme de ces deux racines; donc, en désignant cette ordonnée par y, on a

Cette valeur ne contient point [3, et reste la même tant que 8 demeure constant : ainsi, tous les diamètres de la parabole sont parallèles à l’axe .

Réciproquement, toute droite parallèle d l’axe peut être considérée comme diamètre de la parabole : car en donnant à 8 une valeur convenable, y devient égal à telle quantité qu’on voudra.

445. Soit AV (fig. 186) un diamètre mené à une distance y' de

l’axe : pour ce diamètre on aura £ = y', d’où % = Cette

valeur est celle de la tangente trigonométrique de l’angle que font avec l’axe les cordes coupées en parties égales par le diamètre. D’un autre côté, cette valeur est aussi celle de la tangente trigonométrique de l’angle que fait avec l’axe la tangente au point A' (432); donc les cordes qu’un diamètre divise en parties égales sont parallèles à la tangente menée à l’extrémité de ce diamètre.

Pour que la tangente 8 soit infinie, il faut poser y' = 0; donc la ligne des x est le seul axe de la parabole.

La parabole rapportée à ses diamètres.

446. Les formules, pour passer des axes rectangulaires aux axes obliques, sont

x — af cos a-}- y* cos a' -j-a, y = x' sinoc -f- y' sin *'-}- b.

L’équation de la parabole, en coordonnées rectangulaires, étant ÿ* = 2 px, si on place la nouvelle origine en un point A' de la courbe (fig. 186), on aura entre a et b la relation 6* = 2 pa. De plus, si on prend le diamètre AV' pour axe des xf, on aura sin oc = 0, cos a = 1 ; et si on choisit la tangente A ’ÿ pour axe des

y', on aura tang a' = Prenons les formules connues (25)

. , tang oc' 4

sin oc = — ° — , cos oc = — :

yl -(-tang* oc' y ' * + tang* a'

en y remplaçant tang «' par sa valeur, elles deviennent

sin a = — , cos a — — - :

et en substituant les valeurs de sin a, cos a, sin a', cos a', les for-

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 309 mules de la transformation deviennent

v ^ + px

U ne reste plus maintenant, pour rapporter la parabole aux nouveaux axes, qu’à mettre ces valeurs dans l’équation y* = ipx : par cette substitution l’on obtient

Mettons encore à la place de b ’, sa valeur 2 pa, et, pour abréger, posons 4 (a -f- { p) — 2 p’ : on aura

2(6» +/>«) __ 2(2pa + P") t | P'j 2pl.

et l’équation de la parabole devient, en ôtant les accents à x' et y’, [Pi] y* = 2 p'x.

Le coefficient 2/>' est ce qu’on nomme le paramètre du diamètre auquel la parabole est rapportée. Comme 2 p' représente 4(a -f- J p), et que a + -J p est la distance du foyer au point A' (427), on conclut que le paramètre d’un diamètre est égal à quatre fois la distance du foyer à l’extrémité de ce diamètre.

447. L’équation de la parabole étant la même par rapport à ses diamètres que par rapport à son axe, les propriétés indépendantes de l’inclinaison des coordonnées seront communes dans les différents systèmes.

1° Selon qu’un point est sur la parabole, ou dehors, ou dedans, la quantité y* — 2 p'x doit être nulle, positive ou négative (421 ).

2° Les carrés des ordonnées au diamètre sont entre eux comme les abscisses correspondantes (420).

3° En désignant par a le rapport de sinus, égal au coefficient de x dans l’équation générale de la ligne droite, la valeur de a rela-

tive à la tangente, sera (432),

on aura, pour l’équation de la tangente,

et, pour la sous-tangente (433), on aura PT = 2a/. Donc la sous-tangente est toujours double de l’abscisse du point de contactt.

448. Une droite étant donnée, si on mène k la parabole une tangente parallèle à cette droite, et le diamètre qui passe au point de contact, l’équation de la courbe rapportée à ce système d’axes sera y 1 = 2 p'x. Menons, d’un point quelconque de la droite donnée, deux tangentes à la parabole : en désignant par x" et y* les coordonnées de ce point, on a (436), pour déterminer celles des points de contact, les deux équations

La seconde fait voir que la droite, qui a pour équation y"y = p'(x x"), passe par les points de contact. Si dans cette équation on fait y = 0, il vient x — — x" : résultat indépendant de y", et qui donne pour la parabole le théorème déjà trouvé pour l’ellipse et l’hyperbole (353, 403). Donc, en général,

Si, de chaque point d’une droite donnée , on mène deux tangentes à une courbe du second ordre, et qu’on tire une droite par les deux points de contact, on aura des sécantes qui viendront toutes se rencontrer en un même point, situé sur le diamètre qui divise en parties égales les cordes parallèles à la droite donnée.

Et, réciproquement, si, par un point donné dans le plan d’une courbe du second ordre, an tire différentes sécantes, et que par les points ou chaque sécante rencontre la courbe, on mène deux tangentes, le lieu des points d’ intersection de ces tangentes, ainsi prises deux à deux, sera une droite parallèle aux cordes que divise en parties égales le diamètre passant au point donné.

449. L’équation [p,] montre encore que si on veut décrire une parabole lorsqu’on connaît le paramètre d’un diamètre et l’inclinaison des ordonnées correspondantes, il suffit de décrire d’abord une parabole sur ce diamètre pris pour axe, avec le paramètre donné, et ensuite d’incliner convenablement les ordonnées de cette courbe, sans changer leurs longueurs.

On peut encore déterminer d’abord le foyer et la directrice, et décrire ensuite la parabole. Soit A’x' (fig. 187) le diamètre donné, menez la droite y'A'T sous l’inclinaison donnée, cette ligne sera tangente à la parabole au point A' (443) ; faites l’angleTA'F A'x', la ligne A'F passera au foyer (438) ; prenez A'F égale au quart du paramètre donné , le point F sera le foyer (4-46). Alors, sur le prolongement de A'x1, portez A'C = A'F, puis élevez CL perpendiculaire à AV : CL sera la directrice (427).

Quadrature de la parabole.

450. Soit APM (fig. 188) un segment parabolique terminé par le diamètre Ax et par l’ordonnée PM parallèle à la tangente AV, il s’agit d’en évaluer la surface.

Ayant inscrit un polygone dans le segment, menons par les sommets de ce polygone les ordonnées P'M', P"M",... et les tangentes MT, MT, M''T",... Ces tangentes déterminent, par leurs intersections successives, des triangles TRT', T'RT',.,, que nous allons comparer avec les trapèzes correspondants PMM'P', P’M'MT",...

Si du point R , et du point I milieu de la corde MM', on abaisse RQ et 1K perpendiculaires sur Ax , on aur|

aire TRT' = { TT X RQ , aire PMM'P' = PF X FK.

Mais d’abord de ce que MT est tangente il suit que AT=AP(447); et par une raison semblable AT'= AP'; donc TT'=PF. En second lieu, si par le point 1 on mène IG parallèle à Ax, IG sera un diamètre (444), et les tangentes en M et M' devront couper ce diamètre au môme point; donc le point R est sur le diamètre IG, et RQ est égal à 1K. De là on conclut que le trapèze est double du triangle. On ferait voir semblablement que FM'M "P" est double de T'R T", et ainsi de suite. Donc la somme des trapèzes est double de la somme des triangles , et cela , quel que soit le nombre des côtés du polygone.

Il suit de là que le segment parabolique APM, qui est la limite de la première somme, sera double du segment extérieur AMT , qui est la limite de la seconde somme. Le segment AMP étant double de AMT, il est les deux tiers du triangle rectiligne TMP ; et comme ce triangle est équivalent au parallélogramme APMV, dont la hauteur est la même et dont la base AP est moitié de TP, on conclut que le segment parabolique APM est les deux tiers du parallélogramme fait sur l’abscisse AP et sur l’ordonnée MP.