DES COORDONNÉES POLAIRES

Définitions.— Formules générales.

431 . Au lieu de déterminer la position d’un point quelconque M situé dans un plan en le rapportant, comme on l’a fait jusqu’à présent , à deux axes tracés dans ce plan , on peut encore se servir de sa distance MF (fig489) à un point fixe F et de l’angle MFR que la ligne MF fait avec une droite FR connue de position. Le point lixe F se nomme le pôle ou Y origine, et la droite fixe FR se nomme l’axe polaire. MF est le rayon vecteur du point M, et MFR est 1 ’ angle décrit par ce rayon. Le rayon vecteur et l’angle correspondant se désignent conjointement sous le nom de coordonnées polaires. '

Pour bien comprendre comment l’angle et le rayon correspondent l’un à l’autre, il faut imaginer qu’une droite FS, terminée au point F, mais illimitée de l’autre côté, soit d’abord couchée sur FR, qui elle-même est terminée en F, et que cette droite FS tourne autour du pôle F toujours dans le même sens. Alors un point X , pris arbitrairement sur cette ligne, décrit un arc qui peut croître jusqu’à 360°, et même jusqu’à +00; et si FS tourne en sens contraire, l’arc décrit sera négatif et pourra croître encore jusqu’à — c». C’est cet arc qu’on prend pour l’angle décrit par le rayon vecteur et que je désignerai dorénavant par u>.

Quant au rayon vecteur MF, je le représenterai par p , et il pourra prendre toutes les valeurs possibles, soit positives soit négatives. Les premières servent à déterminer les points situés sur le rayon vecteur lui-même; et les dernières, à déterminer ceux qui se trouvent sur son prolongement, de l’autre côté du pôle.

D’après ces considérations, si on donne pour t*> et p des valeurs particulières , on sera en état d’assigner la position du point auquel se rapportent ces coordonnées.

Soit, par exemple, w = 352° et p = 4 7mè‘- : on prendra l’arc Xpv = 352°, et on mènera la droite FvN, sur laquelle on prendra, dans le sens Fv, la distance FN = 17Bèt\ Si on donnait u> = 332°

et p= — 17"“l , il faudrait prendre FN'= 17mM de l’autre côté du pôle.

452. Cherchons les formules générales qui expriment en coordonnées polaires les coordonnées parallèles à deux axes.

AP et MP (fig. 190) étant les coordonnées d’un point quelconque M rapporté aux axes kx et ky, on fera AP = x et MP = y. L’angle MFR et la distance FM étant les coordonnées polaires du même point, on fera MFR = <» et FM = p. Menons, parallèlement à kx et à ky, les lignes Fx' et Fi/, qui coupent MP en Q et Axen B ; puis désignons par a et b les coordonnées AB et BF du pôle F, par a l’angle RFa?, et par 0 l’angle ykx ou y'Fx'. Cela posé, on a d’abord

x = a + FQ, y — b-\~ MQ.

Ensuite le triangle MFQ donne

FM

FQ

sin MQF sin FMQ sin MFQ ‘

on a FM = p, sin MQF = sin 6, sin MFQ = sin (a + «>), sin FMQ = sin i/FM= sin (6 — a — u>), donc

MQ

P FQ MQ

sinO sin (9 — a — a>) sin (<*-}■ “O"

r» i- ,- en psin(9— -a— w) psina-}-ü>)

De a on tire bQ = - — — — -, MQ= - — t— r — -, et

sinO ’ sinO ’

substituant ces valeurs dans celles de x et de y, on a

en

psin(6-

sinO

psin(a -j- u») sin 9

453. Quand les coordonnées x et y sont rectangulaires, on a 9 = 90°, et par conséquent

[2] x = a p cos (a w), y — b + p sin(a a>),

formules qu’il serait facile de trouver directement.

454. La généralité formules [1] ne souffre aucune restriction : je me bornerai à les vérifier pour le cas représenté fig. 191, dans lequel on a x=AP, y — — PM, a — AB, b — — BF,p= — FM, 9 = Ap., a =r A|jiX= 360° — AX, co = Xv.

En mettant ces valeurs dans les formules générales, il vient

— FMsin(A(* — 360“-frAX — Xv) FMsinjxv

Ar = Ab -J : — ; = Ab — : — : -,

smAfjL sin

pM EF | — FM sin (360°— AX + Xv) ^ FMsinAv ^

sinAp. sin A ja

Mais le triangle MFQ donne QF= s'n ^ MQ = ^ s'n-^- ■ par

smAp. smAjx 1

suite les deux égalités qui précèdent sont évidentes; car elles deviennent AP = AB— QF=AP, — PM =— BF— MQ = — PM.

Au lieu de p = — FM et w = Xv, on peut prendre p = -(- FM et o) = Xjjlv' ou ça = — Xv'. Les mêmes vérifications ont encore lieu.

Équations polaires des trois courbes dn second ordre.

455. Ellipse, Soit a*ÿ*-}- b'x1 = à>bt l’équation d’une ellipse rapportée à son centre et à ses axes (fig. 192), et F le foyer situé du côté des abscisses négatives : la distance AF étant représentée par e, et le rayon vecteur FM par p, on a trouvé (308)

IM p=«+7-

Désignons l’angle variable MFa? part»; le triangle rectangle MFP donnera FP= p cos w, et par conséquent x = p cos u> — c:en substituant cette valeur de x dans l’équation [1], il vient

epcosw — c* a

De là, en remarquant que c’=a* — A*, on tire p =

a — c cosw

; et

en posant - = e, — = », cette valeur de p devient a a

1 — ecoso) *

telle est l’équation polaire de l’ellipse. En donnant à u> toutes les valeurs possibles de 0 à 360°, le rayon vecteur p prend des valeurs correspondantes qui déterminent tous les points de la courbe.

La quantité 2 p, qui est une troisième proportionnelle au grand axe et au petit axe, se nomme le paramètre de l’ellipse. Ainsi, dans l’éq. [a], e représente le rapport de l’excentricité au grand axe, rapport qui est moindre que l’unité, et p est le demi-paramètre.

Il ne faut pas confondre le paramètre de l'ellipse avec le paramètre d’un diamètre. Ce dernier est une troisième proportionnelle au diamètre et à son conjugué.

456. Hyperbole. Soit a*i/t — è’x* = — a’A* l’équation d’une hy-

perbole, et F (Gg. 193) le foyer situé du côté des x positifs. En désignant la distance AF par c, et le rayon vecteur FM par p, on a trouvé (367), selon que le point M est situé sur la branche qui renferme le foyer F ou sur la branche opposée ,

ex ex

[2] P = OU p = - + a.

Quelle que soit la position du point M , si on désigne toujours l’angle MFx par tu, on a x = c-\- p cos o>. En substituant cette

valeur dans les équations [3], et posant - = e, — = p, il vient

1 — e cos <*> ’

et [p'] P =