f- ecos<i

La quantité e, qui est ici plus grande que l’unité , est encore le rapport de l’excentricité au premier axe ; et 2 p est le paramètre de l’hyperbole, c’est-à-dire, une troisième proportionnelle au premier axe et au second.

Il faut bien remarquer que , dans les équations [2] , p doit être positif (367), et que par suite cette supposition doit être maintenue à l’égard des équations [P] et [P'], qui sont tirées des équations [2] ainsi il faudra rejeter les valeurs négatives de la variable p, comme si elles étaient imaginaires. Alors l’équation [p] donne une branche de l’hyperbole, et l’équation [P'] donne l'autre.

Pour ne laisser aucun doute à cet égard , discutons successivement chacune des deux équations. En supposant d’abord le rayon vecteur appliqué sur Fx, il faut faire <*>=0, et l’équation [p] donne

Cette valeur est négative, car le nombre e surpasse l’unité; la courbe n’a donc aucun point correspondant à cette valeur. En général, le signe de p sera celui du dénominateur 4 — ecos«u, puisque le numérateur p est positif : or 1 — e cos u> restera négatif

jusqu’à ce qu’on ait 4 — e cosoj = 0, d’où costo = -; donc;

depuis a» = 0 jusqu'à cette limite, on ne trouvera sur le rayon vecteur aucun point de l’hyperbole. Voyons ce que représente cette limite.

Si oo remet - au lieu de e, la valeur - devient-. Mais, si on a e c

mène au-dessus de l’axe CB la perpendiculaire BI égale à b, on

sait que la droite AI est une asymptote de l’hyperbole (406), et le

triangle AIB donne cos IAB = ^5 = -; donc la droite FH, parai-

Al C

lèle à l’asymptote AI, est la limite jusqu’à laquelle s’élève le rayon vecteur sans cesser d’être négatif. Nous désignerons l’angle HFx par V.

Continuons la discussion. Du moment où w surpasse V, le dénominateur 1 — e cos w devient positif; <u = V donne p = co; ùj = 90" donne p = p; et dans l’intervalle les valeurs de p sont décroissantes : on trouve ainsi l’arc SK.

Au delà de FK, u continuant d’augmenter, cos u> devient négatif, et p continue encore de décroître jusqu’à ce qu’on fasse w = 180°.

Alors on a cosu = — 1, et par suite p =

Cette valeur est

celle du rayon vecteur FB, ainsi qu’il est facile de le vérifier, et l’hyperbole est actuellement prolongée jusqu’en B. x Depuis 180° jusqu’à 360°, cos u prend les mêmes valeurs; mais dans un ordre inverse, que de 0 à 180°; donc, si on fait l’angle H'Fx égal à HFx, ou, ce qui est la même chose, si on mène FH' parallèle à la seconde asymptote , on trouvera dans l’angle AFH' un arc tel que BK'S' symétrique à BKS. Dans l’angle H'Fx, le rayon vecteur est négatif comme il l’a été dans l’angle HFx, et ces valeurs doivent être rejetées.

En faisant croître l’angle u au delà de 360°, le rayon vecteur aura les mêmes positions et les mêmes valeurs qu’il a déjà eues ; de sorte qu’on n’obtient plus de nouveaux points de la courbe.

L’équation [(3] n’a fait trouver que la première branche de l’hyperbole : en raisonnant de la même manière sur l’équation [{3'] , on aura l’autre branche TCT'.

Maintenant, nous ferons remarquer que s’il y a dans l’équation [p] un défaut de généralité qui l’empêche de donner les deux branches de l’hyperbole, cela tient uniquement à ce que nous avons attaché à p la condition d’être positif. Si on ôte cette restriction, et que, suivant la règle générale (451), on porte les valeurs négatives de cette variable sur le prolongement du rayon

vecteur, l’équation [(3] déterminera aussi l’autre branche, telle qu’elle résulte de l’équation [fi1] .

En effet, soit FR une position du rayon vecteur correspondant à a» =<i>', l’équation [P] donnera

1 — ecos to'

supposons que cette valeur soit négative. Pour le prolongement FR' de FR, on a w = ü>' -f- 180; et en substituant cette valeur dans [p'], il viendra

p \ — ecosu)"

quantité qui est positive, puisque l’autre est supposée négative : elle détermine donc sur FR' un point N de la branche TCT'. Or, ce point est le même qu’on eût trouvé, si, au lieu de rejeter la valeur négative de p déduite de [P], on l’eût portée sur le prolongement de FR : donc l’équation [p] donnera à elle seule toute l’hyperbole, pourvu qu’on regarde, ainsi qu’on doit le faire en général, les valeurs négatives du rayon vecteur comme devant être portées sur le prolongement de cette ligne, de l’autre côté de l’origine.

457. Parabole. Les coordonnées étant rectangulaires (tig. 4 94), et l’équation de la parabole étant y* ~îLpx, si le rayon vecteur FM, mené du foyer à un point quelconque de la courbe, est désigné par p, on a trouvé (427) p = { p -f- x.

En faisant l’angle MFx = co, on a x = 1- p -f- p cos w , par suite l’équation polaire de la parabole sera

458. En rapprochant les équations [a], [p], [y], on aperçoit surle-champ que les trois courbes peuvent être données par la seule équation

p \ — e cos «) ’

dans laquelle p représente toujours le demi-paramètre de la courbe. On aura l’ellipse, f’hyperbole ou la parabole, selon que le rapport e sera < 1 , > 1 , ou = \ .

Quand w = 90°, le rayon vecteur est perpendiculaire à l’axe : alors on trouve p = p; donc, dans les trois courbes, la crn'de per-

pendiculaxre à l’axe, et /tassant parle foyer, es t égale au paramètre. Cette propriété appartient exclusivement aux foyers, et peut servir à les déterminer.

Sur les signes et l’extension qu’il convient de donner aux coordonnées polaires. — Exemples.

459. C’est une erreur assez commune de croire qu’il est permis de ne faire varier l’angle w que dans les limites de 0 à 360°, et de négliger tout à fait les valeurs négatives du rayon vecteur, comme si elles étaient imaginaires. La raison sur laquelle on s’appuie, c’est que le rayon vecteur, en tournant autour du pôle sans sortir du même plan, ne peut revenir à sa première situation qu’après avoir passé par tous les points de ce plan : d’où l’on conclut qu’il n’y a aucun point qui ne puisse se déterminer par une valeur popositive de moindre que 360° et par une valeur positive de p.

Cette conclusion est exacte, mais elle ne s’applique qu’à des points pris isolément, et qui se succèdent sans aucun ordre, il en est autrement lorsque l’on considère les variables «a et p dans une équation qui exprime la relation qu’elles doivent avoir pour tous les points d’une même ligne.

Supposons qu’une droite (tig. 195), d’abord confondue avec F#, tourne autour du pôle F sans sortir d’un même plan, pendant qu’un point M, parti de l’origine, se meut le long de cette droite, de telle sorte que la distance FM, correspondant à une position quelconque de la droite, soit toujours égale au quart de la longueur de l’arc AB décrit par un point B donné sur la droite FR. Le point M décrira une courlie ; et si on désigne toujours par <a l’arc AB, et par p la distance FM, l’équation de cette courbe sera p = { <*>.

Si on ne fait croître <» que jusqu’à 360°, on trouve une courbe telle que FMH , qui se termine brusquement en H sur la ligne Fx. Cependant il est évident que la droite FR, après s’être replacée sur Fx, ne cesse pas pour cela sa rotation, et que la courbe décrite par le point M se prolonge au-dessus de Fx. R en est encore ainsi après chaque révolution de FR ; en sorte que la courbe fait elle-même une infinité de circonvolutions autour du point F. Or, l’équation ne peut donner toutes les parties de cette courbe qu’en faisant croître ai jusqu’à l’infini : ce serait donc à tort qu'on voudrait arrêter cette variable à la limite 360°.

Tirons la droite Fa/ qui rencontre en A' la circonférence décrite par le point B, et représentons l'arc AA' par «; si on veut compter les arcs variables <o à partir de Fa/, il faut, dans l'éq. p=tu>, remplacer u) par <x — {— o» quand FR est au delà de Fa/, et par a — w quand FR est en deçà, il vient ainsi p = |(a-f-w) et p = }(« — w).

On voit alors que toute la courbe ne sera plus représentée par une seule équation , à moins qu’on ne donne à u> des valeurs négatives : c’est donc encore sam raison qu’on rejetterait du calcul les valeurs négatives de cette variable.

Revenons aux rayons vecteurs, et imaginons (fig. 196) qu’au moment où la droite FR a commencé sa rotation, le mobile M soit parti du point B, réuni alors au point A, pour se mouvoir du côté AF. Si on suppose toujours que la distance qu’il parcourt soit le quart de l’arc décrit par le point B , on aura encore p = { <». Mais la variable p désigne ici une distance BM comptée à partir du point B, lequel se déplace en même temps que la droite FR.

Lorsque FR prend la position FS, dans laquelle l’arc n> est égal à quatre fois le rayon FB, la distance p devient égale à FB, de sorte que le point mobile se trouve arrivé en F. La droite continuant de tourner et venant se placer en FT, p surpasse FB , et le point M passe en M' de l’autre côté du pôle F, sur le prolongement FT' de FT. Il s’éloigne ensuite de plus en plus du pôle.

Si , au lieu de BM , on veut introduire dans l’équation une distance variable dont l'origine soit au pôle, et qu’on désigne FB par a, il faut remplacer p par a — p s’il s’agit d’un point tel que M, et par a + p s’il s’agit d’un point tel que M'. Alors p désignera les distances FM ou FM', et on aura p = a — \a> et p = } «o — a.

Par là on voit que la courbe ne pourra pas être donnée par une seule équation , à moins qu’on ne regarde les valeurs négatives du rayon vecteur comme devant être portées sur le prolongement de ce rayon, de l’autre côté du pôle. Cette conclusion s’accorde avec la discussion établie plus haut au sujet de l’hyperbole.

Maintenant il est hors de doute que les coordonnées polaires ne doivent être assujetties à aucune limitation. S’il se rencontre des courbes , et il en existe en effet un grand nombre, qui soient déterminées tout entières, par des valeurs de tu moindres que 360°, et par des valeurs positives de p , ce sont des cas particuliers qui ne sauraient servir de règle générale.

460. A l’appui de ce qui précède, je présenterai encore quelques

considérations qui, en rendant sensible la liaison des coordonnées polaires avec celles qui sont parallèles à deux axes , me paraissent bien propres à montrer comment les signes attribués aux dernières doivent s’appliquer aussi aux premières.

Soient (fig. 197) deux axes rectangulaires XX', YY', qui se coupent en F. De ce point comme centre décrivons une circonférence qui coupe FY en A, et menons DAD’ parallèle à XX'. Concevons que DD' s’enroule sur la circonférence de manière que les points tels que Q et Q' déterminent les arcs kq et Aq', égaux aux longueurs AQ et AQ', en même temps que les perpendiculaires QP et Q'P' viennent coïncider avec les rayons F q et Fq'. Alors un point M , dont les coordonnées parallèles aux axes rectangulaires étaient FP et PM, vient prendre une position m , dans laquelle il a pour coordonnées polaires l’arc Aç=AQ=FP et le rayon vecteur F»»= PM. Les abscisses placées à droite et à gauche de l’origine F étant de signes contraires, et pouvant croître jusqu’à l’infini, il en doit être de même des arcs situés de chaque côté du point A ; et pareillement, les coordonnées situées au-dessus et au-dessous de XX', comme PM et PN, devant être prises avec des signes contraires, les rayons vecteurs correspondants F m et Fn, dont le premier se trouve du côté F^, et le second , sur le prolongement de Fq, de l’autre côté du pôle, devront aussi être affectés de signes différents. Ces conclusions ramènentprécisémentauxrègles établies (451 ) sur les signes et l’extension qu’il faut donner aux coordonnées polaires.

461. Comme exercices, je proposerai les questions suivantes :