DES SECTIONS DU CONE ET DU CYLINDRE

Sections coniques. — Identité de ces courbes avec celles du second ordre.

462. Nous nommons ici cône droit la surface engendrée par une droite indéfinie qui tourne autour d’une droite fixe, sans cesser de passer par un même point de cette ligne et de faire avec elle le même angle. La droite mobile est la génératrice du cône, la droite fixe en est l’axe, et le point par lequel passe constamment la génératrice en est le sommet. La génératrice étant illimitée de chaque côté, la surface est composée de deux parties ou nappes parfaitement semblables, situées de part et d’autre du sommet.

l)e cette génération il suit que tout plan perpendiculaire à l’axe coupe la surface suivant un cercle, et que tout plan conduit par l’axe la coupe suivant deux génératrices qui font entre elles un angle double de l’angle constant formé par la génératrice avec l’axe.

463. Laissant de côté tous les cas particuliers, proposons-nous de rechercher les différentes courbes qu’on obtient en coupant un cône droit par un plan, et qu’on nomme sections coniques.

Soit MAN (fig. 4 98 ) la courbe dont il s’agit : par l’axe W' mc-

nous un plan perpendiculaire à celui de cette courbe; il coupera le cône suivant deux génératrices opposées RSR', TST', et le plan de MAN suivant une droite Ax que je prendrai pour la ligne des abscisses. Par un point quelconque de la courbe j’abaisse l’ordonnée rectangulaire MP : je désigne AP par x, MP par y, et il s’agit de trouver une relation entre x et y.

11 y a trois cas à distinguer, selon que Ax rencontre la génératrice TT' sur la même nappe que RR', ou qu’il la rencontre sur la nappe opposée, ou qu’il lui est parallèle.

Prerràer cas (fig. 198). Par les points A et B, où Ax rencontre les génératrices SR, ST, je mène AC, BD, perpendiculaires à l’axe SV, et je fais AB = 2«, Bü = 2/) AC =2y. Je mène encore, par le point P, EF perpendiculaire à l’axe, puis je conduis un plan par MP et EF; ce plan sera lui-même perpendiculaire à l’axe, et coupera le cône suivant un cercle EMF, qui aura EF pour diamètre.

L’ordonnée MP étant perpendiculaire à Ax, et située dans le plan MAN perpendiculaire au plan ASB, doit être elle-même perpendiculaire à ce dernier plan ; donc elle fait un angle droit avec le diamètre EF, donc on a y* = EP x PF.

Les triangles semblables AEP, ADB, donnent EP : x : : 2/* : 2a, et les triangles BFP, BCA, donnent PF : 2 a — x :: 2y : 2a. De ces

proportions on tire EP = '-— et PF = ^— -; donc l’équation

de la section conique sera y* = ~ (2ax — x’) ; donc la section co-

nique est une ellipse.

Remarques. I. Le grand axe d’une ellipse étant désigné par 2A, et le petit axe par 2B, si on rapporte cette ellipse à son grand axe et à une perpendiculaire élevée par l’un des sommets (296), l’é-

quation de cette courbe est y’ = — ( 2Ax — x1).

En la comparant à la précédente, on voit que le grand axe de la section conique est égal à 2a, que le petit axe est égal à 2 y 7^, et que par suite la distance des deux foyers est 2 yV — fg.

Abaissez AG perpendiculaire sur BD : on a BG = /■-)- y, et le triangle ABD donne AD 2 = 4a’ — J /’(/’+?) = 4a* — 4/y;

donc AD = 2y lar — fg, distance égale à celle des foyers.

Ainsi, dans l’ellipse résultant de la section du cône , le grand axe

est égal à AB, le petit axe est moyen p roportionncl entre AC et BD, et l’excentricité est égale à AU.

II. Inscrivez un cercle dans le triangle ASB; et soient H, I, K, les points de contact avec les trois côtés. Il est facile de voir qu'on a AH = AI, BH = BK, SI = SK.

Par suite on a CK.=AI=AH. Or, BK — CK=BC; donc BH — AH =BC; dorfc aussi, en prenant BIT=AH, on aura BH — BH'=HH acz BC. On vient de voir que la distance des foyers de l’ellipse est égaie à BC ou AD; donc les points H et H sont les deux foyers.

Au reste, le foyer H' est aussi déterminé par le cercle décrit audessous de ABtangentiellement aux trois mêmes lignes AB, AR,BT. En effet, si on suppose que II', 1', K , soient les points de contact, on a BH'= BK = DI'. Par conséquent AH’— BH'= Al'— DI'— AD; donc H' est l’autre foyer.

Si on mène IL parallèle à AC, le triangle AIL sera semblable à ABD, et on aura AL : AB ; ; Al : AD. Soit 0 le milieu de AB : on a AB= 20A, AD = 2011, A1 = AH; doue, au lieu de la proportion précédente, on peut écrire AL : OA :: AH : OH, ou bien componendo, OL : OA :: OA : OH, d’oii OL X 0H= OA .

Pareillement, si on mène K L' parallèle à BU, on aura OL’ x 011' = 0‘. Ces résultats étant rapprochés du n° 313, on conclut que les points L et L sont les pieds des deux directrices.

III. Si le plan coupant se meut parallèlement à lui-même, les triangles ADB, ACB, conserveront les mêmes angles; donc le rapport ^LÔLf qui est celui des axes de l’ellipse, restera constant. C’est

en cela que consistent les ellipses semblables.

IV. Quand le cône et l’ellipse sont donnés séparément, on connaît les côtés AB et AD du triangle ABD, ainsi que l augle D. En effet, AB est le grand axe de l’ellipse, AD est la distance des foyers, et l’angle D est le complément de l’angle formé par la génératrice du cône avec l’axe. Ou peut donc construire le triangle ABD, et avoir ensuite le point S en élevant SV perpendiculaire au milieu de BD. Alors il est évident que le cône engendré par la révolution de SR autour de SV est égal au cône donné, et que le plan conduit par AB, perpendiculairement au plan RSV, coupe ce cône suivant l’ellipse donnée; donc toute ellipse peut être placée sur un cône donné.

Par la nature de l'ellipse, AD est < AB; d’ailleurs, l’angle ADB est aigu; donc le triangle ADB est toujours possible, et. la conclusion précédente n’est sujette à aucune exception.

464. Deuxième cas (fig. 199). En faisant les mêmes constructions que dans le premier cas, et conservant les mêmes dénominations, on a toujours y’ = MP== EPxPF.

Par la comparaison des triangles semblables AEP, ADB, et par celle des triangles BFP, BOA, qui sont aussi semblables, on trouve

EP = —, PF= # . donc yï ÙL . (Joue ia Sec-

tion conique est une hyperbole.

Remarques. I. En plaçant l’origine au sommet, l’équation de

l’hyperbole est (360) ÿs= — (2Aæ -f- ®*). On voit par là que, dans

l’hyperbole située sur le cône, le premier axe est égal à 2a, que le second est égal à 2 \ffg, et que l’excentricité est 2y as-f fg.

En menant AG perpendiculaire à BD, on trouve facilement AD" = 4as-(-4/', — 4 /(/■ — g) = \ai-\- \fg-, donc AD = 2v/a* + fg, ce qui prouve que la distance AD est égale à l’excentricité.

II. Soient H, I, K, et H', I', K', les points de contact des lignes x'x, RR', TT', avec les deux cercles tangents à ces lignes et compris entre les génératrices RR' et TT', on aura AH = AI= CK, et par suite BH -f- AH = BK-|- CK =BC. Or, la ligne AD ou BC est égale à la distance des foyers de la courbe; donc le point H est un foyer. On a aussi BH'=BK'=DI', et par suite AH'-j-BH'= AI' -f- DI' = AD; donc le point H' esf Vautre foyer.

Tirons IL et K'L parallèles à BD. Les triangles semblables AIL, ADB, donnent AL : AB ; AI ou AH ; AD ou HIT.

Soit O le milieu de la distance AB : cette proportion revient à celle-ci , AL : OA : ; AH : OH ; donc, dividendo, 0L : OA ; : OA : OH, d’où Ton tire OLxOH = Ô.\*.

Semblablement, on trouverait OL' X OH' = OA*; donc (372) les points L et L' sont les pieds des deux directrices.