III. Pour des sections parallèles, le rapport des deux axes

reste constant; alors les hyperboles sont dites semblables.

Ce rapport demeurant constant, les hyperboles qui résultent de ces sections ont leurs asymptotes parallèles. Il est facile de reconnaître aussi que la section parallèle, faite par le sommet du cône, donne deux génératrices parallèles à ces asymptotes.

IV. Pour placer une hyperbole sur un cône donné, on construit le triangle ADB, dans lequel on connaît l’angle aigu D, le côté AD égal à la distance des foyers de l’hyperbole, et le côté AB égal à

l’axe transverse; on élève ensuite SV perpendiculaire au milieu de BD. Le cône droit qui a SV pour axe et SA pour génératrice est égal au cône donné, et le plan mené par AB, perpendiculairement au plan ASV, coupe ce cône suivant l’hyperbole donnée.

Mais le côté AB étant < AD, le triangle ADB n’est possible que dans le cas où AB n’est pas moindre que la perpendiculaire AG. Or, le triangle ADG donne AG = AD sin ADG = AD X cos ASV ;

AB

donc il faut qu’on ait AD X cos ASV < AB, d’où cos ASV < — .

AU

(Ici le signe < n’exclut pas l’égalité).

Dans l’hyperbole donnée, le rapport de AB à AD est égal au cosinus de l’angle formé par l’asymptote avec le premier axe (411). En désignant donc cet angle par 0, on a cos ASV <cos8, d’où ASV > 6 et 2ASV > 28. Donc une hyperbole peut se placer sur un cône donné, pourvu que l'angle de deux génératrices opposées ne soit pas moindre que celui des asymptotes de l'hyperbole.

465. Troisième cas (fig. 200). En se servant toujours des mêmes constructions, on a encore ÿ! = EP X PF.

Ax étant parallèle à ST, on a PF = AC = 2y : faisons AS = d. Les triangles AEP, SAC, étant semblables, on a EP : x :: 2 g : d-,

donc EP = —j-, et par suite, y2 = —■ x: donc la section conique

est une parabole.

Remarques. I. Le paramètre est en évidence. Si du milieu de AC, on mène GH perpendiculaire sur Ax, le triangle AGH sera sem-

blable à AGS, et on aura AH : g :: y : d, d’où AH = ~; donc AH

est le quart du paramètre ; donc le point H est le foyer de la parabole.

II. Dès lors il est évident que ce foyer est le point de contact de la ligne x'x avec le cercle décrit entre les génératrices RK' et TT', tangentiellement à ces deux génératrices et à la droite x'x.

De plus, il est facile de voir que si, par le point de contact de RR' avec le même cercle, on tire IL parallèle à AC, on aura AL = AII; donc la directrice passe au point L.

III. Il n’y a pas lieu à remarquer que les paraboles données par des plans parallèles sont semblables, par la raison que toutes les paraboles doivent être considérées comme semblables. Cela se fonde sur ce que, dans deux paraboles quelconques, les droites menées par les sommets, et également inclinées sur les axes, sont toujours

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proportionnelles. La démonstration de cette proposition est trop facile pour qu’il soit nécessaire de la donner ici.

IV. Une parabole étant donnée , pour la placer sur un cône donné , on construira le triangle rectangle GAII; puis on élèvera GS perpendiculaire sur AG, et on fera l’angle GAS=GAH. La surface décrite par la révolution de SA autour de SG sera celle du cône donné, et le plan conduit par AH perpendiculairement au plan A SG coupera ce cône suivant la parabole donnée. Donc toutes les paraboles peuvent être placées sur un cône donné.

466. De tout ce qui précède , il faut principalement conclure que les sections coniques sont des courbes du 2' ordre; et réciproquement, que les courbes du 2" ordre sont des sections coniques.

Autre méthode.

467. Nous allons encore chercher les sections coniques par une méthode qui fera trouver les trois courbes dans une seule équation.

Faisons (fig. 201) les mêmes constructions que dans le n° 463; et , pour avoir des données qui conviennent à toutes les positions de la ligne kx , prenons SA = d, SAx = a, RSV = p. Cela posé, le cercle EMF donne y*= EP XPF.

Dans le triangle APE, on a EP : x :: sin PAE : sin PEA. Or,

x sin a

sin PAE = sm a, sin PEA = cos 0; donc EP = — .

v cos P

Menons AC parallèle à EF, et PH parallèle à SF : le triangle APH donne AH : x : : sin APH : sin AHP. Or, sin APH = sin (a -f- 2(3) et

sin AHP = cos P; donc AH = — in(a+8fl .