COS P

Enfin, en remplaçant EP et PF par leurs valeurs, on aura l’équation générale des sections du cône, savoir :

2«/sinasinp sinasin(a-)-2p)

donc les sections coniques sont des courbes du second ordre.

Pour démontrer la proposition réciproque, il faut remarquer d’abord qu’en prenant des coordonnées rectangulaires et en pla-

çant l’origine à un sommet, les trois courbes du second ordre sont

contenues dans l’équation

[s] yi = %px -j-nx*,

2 p désignant le paramètre de la courbe, et n le carré du rapport du second axe au premier (abstraction faite du signe). Alors, la question revient à démontrer que les quantités p, n, p, étant données, on peut déterminer pour les inconnues d et a des valeurs réelles qui rendent les équations [S] et [s] identiques.

En égalant respectivement les coefficients de x et de x% dans les deux équations, il vient

d sin a sin p sinasin(a-|-2p)

cos p L J COS* P

L’éq. [1] donne pour d une valeur réelle quand a est lui-même réel. Mais la forme de l’éq. [2] n’est pas commode pour faire connaître cet angle; c’est pourquoi nous allons la changer.

Prenons les formules trigonométriques qui expriment cos (A-f-B) et cos (A — B), et retranchons la première de la seconde, on trouve (38) 2 sin A sin B = cos (A — B) — cos (A -f B).

Soit fait A = a-(-2p et B = a, cette dernière formule donne 2sinasin(a-}-2p)=cos2p — cos (2a -}- 2p). Par suite, l’éq. [2] devient cos2p — cos (2a -j- 2P) = — 2ncos*p, d’où cos(2a-j-2P) = cos2p + 2n cos*p. Or, cos2p = cos*p — sin*P = 2cossp — 1; donc enfin

cos(2a-j-2p)=2(l + n)cos*p —

Dans l’ellipse, le rapport n est négatif et < 1. Il s’ensuit que la valeur précédente est comprise entre + 1 et — 1 ; doDc l’arc 2a -f- 2p est réel, et par suite a l’est aussi; donc un cône droit étant donné, on peut toujours le couper suivant une ellipse donnée.

Dans l’hyperbole, n est positif et peut avoir une grandeur quelconque. Si la valeur de cos (2a -j- 2P) est négative , il est évident qu’elle sera plus petite que l’unité, et, par conséquent, a sera réel. Mais il n’en est plus ainsi quand cette valeur est positive : il faut alors qu’on ait

2(1 n) cos* p — 1 < 1 , d’où cosP<

Pour interpréter cette condition, remettons au lieu de n le carré

du rapport des axes : elle devient cos p < . Or, si on dé-

yV -j- 6’

328 lil.LiXIÈME l'AUTIli.

signe pas 0 l’angle des asymptotes avec Taxe transverse, on a aussi a

cos 6 = - : donc cosp <cos0; donc p> 6 et 2p> 20.

yV + ô*

Ainsi on retrouve cette condition que, pour placer une hyperbole sur un cône droit, il faut que, dans ce cône, l'angle au sommet soit au moins égal à celui des asymptotes.

Dans la parabole, n = 0, et alors l’éq. [2] donne ou sin a— 0 ou sin (* + 2(1) = 0. La première valeur n’est pas admissible :car en la mettant dans l’éq. [1] on aurait p = 0, et Féq. [S] ne représenterait plus une parabole. On doit donc prendre sin (a -f- 2(1) = 0. Or, a -f- 2(3 doit être < 360°; donc il faut poser ou a -|- 2p = 0, ou a -|- 2(5 = 180°. On négligera l’égalité a-f- 2(5 = 0 , car elle donne pour a une valeur négative ; et quant à l’égalité a -f- 2(5 = d 80", elle montre que Ax (fig. 201) doit être parallèle à ST, ainsi que cela doit arriver dans le cas de la parabole. Donc , toutes les paraboles peuvent se trouver en coupant un même cône droit par des plans.

Section cylindrique.

468. Soit AMB (fig. 202) la section d’un cylindre droit par un plan : si on fait les mêmes constructions que pour le cône (463) , et qu’on désigne le rayon du cylindre par r, et AB par 2a, on trouve facilement , pour la courbe AMB,

ffl ÿ* = £ï (2ox— ®*).

Cette équation, qui représente une ellipse, peut aussi se déduire

de l’équation [S] , mais il faut auparavant introduire dans celle-ci

la ligne AG (fig. 201). Posons AG = r: le triangle ASG donne

r = d sin (5, et par suite l’équation [S] devient

. 2r sin a sin * sin (a + 213)

tr — 7- x — — — ar.

cos p cos! p

Alors, si on suppose p = 0, les lignes HR', TT, deviennent parallèles, et le cône se change en cylindre. Cette hypothèse réduit l’équation à y* = 2rsina.a: — sina.x*; et ce résultat s’accorde avec l’éq. [T]. En effet, a représente l’angle R'AB (fig. 202), et le

triangle ABC donne sin ABC = sin a = - : or, si on substitue cette valeur dans l’éq. ci-dessus, on retombe sur l’éq. [T],

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 320 Section antiparallèle du cène oblique.

400. Si on fait mouvoir une droite de manière qu’elle s’appuie toujours sur un cercle et qu’elle passe constamment par un point donné, elle engendre un cône , qui a pour base le cercle, pour sommet le point donné, et pour axe la droite menée par le sommet et par le centre de la base. Le cône est droit ou oblique, selon que l’axe est perpendiculaire ou oblique à la base.

Un plan mené par l’axe d’un cône oblique perpendiculairement à sa base, coupe le cône et la base suivant un triangle qu’on nomme la section principale.

Le cône oblique, de même que le cône droit, est coupé suivant des cercles , par des plans parallèles à sa base ; mais il jouit en outre de la propriété d’être encore rencontré suivant des cercles par d’autres plans. C’est ce que nous allons faire voir.

Soit SAB (fig. 203) la section principale d’un cône oblique, et DMC la courbe produite par l’intersection de ce cône avec un plan perpendiculaire au plan SAB. Ayant mené MP perpendiculaire sur CD, et EPF parallèle à AB, je conduis par EF et MP un plan qui sera parallèle à la base du cône, et qui coupera le cône suivant un cercle EMF. 11 est facile de voir que MP est perpendiculaire au diamètre EF ; donc MPS = EP X PF.

Supposons que la courbe DMC soit un cercle : la droite DC sera un diamètre de ce cercle , et on aura aussi MP* = DP X PC ; donc EP X PF = DP X PC , ou bien EP : DP : : PC : PF.

Les deux triangles EPD, CPF, ont donc un angle égal entre côtés proportionnels; par conséquent ils sont semblables, et l’angle SCD = SEF = SAB. Quand cette condition est remplie , il est clair que la section est un cercle.

On connaît ainsi la nouvelle direction qu’il faut donner aux plans coupants pour que les sections du cône oblique soient encore des cercles. Ces sections sont celles qu’on désigne sous le nom de arUi par allèles ou de sous-contraires. 11 y a aussi une section antiparallèle dans le cylindre oblique à base circulaire.

470. Remarque. Quelle que soit la position des lignes CD et EF, pourvu qu’elles soient parallèles à celles qui répondent aux deux séries de sections circulaires, il est clair que les deux triangles EPD et CPF seront encore semblables : de sorte qu’on aura toujours EP X PF = DP X PC. De là il est facile de conclure que CD

et EF sont les cordés d’un même cercle , et que les deux sections circulaires, qui ont ces lignes pour diamètres, sont situées sur une même sphère dont le grand cercle est précisément celui qui contient les deux cordes CD et EF.