TANGENTES ET ASYMPTOTES CONSIDÉRÉES GÉNÉRALEMENT

Tangentes aux courbes algébriques.

471. Soit 3? et ÿ les coordonnées d’un point quelconque d’une courbe. Pour un autre point dont l’abscisse serait x' -f- h, on aurait une autre ordonnée que je désigne par y'-\-k. La sécante passant par les deux points est déterminée quand on connaît le rapport de k à h : mais la valeur générale de ce rapport ne nous est pas nécessaire, et il suffit de trouver celle qu’il prend quand le second point coïncide avec le premier. Il est évident, en effet, qu’en nommant X cette limite, l’équation de la tangente sera

y—y, = k(x—af).

La limite X doit être une conséquence de l’équation qui exprime la liaison établie entre l’abscisse et l’ordonnée de la courbe; et voici comment on trouve cette limite.

Soit Z = 0 l’équation de la courbe. Elle doit être satisfaite en y remplaçant x et y par x' et ÿ ou par1 x' -{-h et ÿ k; donc, en appelant Z' et Z" ce qui devient Z par ces substitutions, on devra avoir Z'= 0 et Z"— 0, d’où Z" — Z'= 0.

Or, si on suppose que Z = 0 soit une équation algébrique, il est clair que tous les termes de Z' doivent se trouver dans Z" : car, lorsqu’on fait h = 0 et k = 0, on réduit x'-j- h à x! et y' -j- k à y', et par suite Z” à Tl. 11 suit de là que l’équation Z" — Z'=0 ne doit se composer que de termes multipliés par h ou k, ou bien par . des puissances et des produits de ces quantités. On fera donc k=lh dans cette équation, ensuite on en tirera une valeur générale du rapport l, puis on passera à la limite X en faisant h — 0.

En algèbre on démontre que, si on remplace x et y par x + h et y -j- A, le polynôme Z deviendra Z -f- XA -{- Y A -f- w, X et Y étant les polynômes dérivés de Z relatifs à x et à y, et a> étant une suite de termes tous multipliés par des puissances ou par des produits de A et de A.

Cela posé, il est évident qu’en désignant par Z', X', Y', w', ce que deviennent Z, X, Y, 10, par le changement de x et y en x' et i/, on aura Z" = Z'-j-X'A -f- Y'A -(- “J par conséquent l'équation Z” — Z'—O deviendra X'A + Y'A -f- u>'= 0.

Maintenant il faut poser k=lh, et alors, en divisant par A et en nommant 10" le quotient de ta’ par A, il vient X'-f- Y7 0,

d’où 1 = — — — — . La quantité u>" contient encore A dans tous

ses termes; donc elle devient zéro lorsque, pour avoir la limite X

de l, on suppose A = 0 : ainsi on a simplement X = — Par

suite l’équation de la tangente sera

ou bien encore, en posant X'x' -j- Y y = V’, sous cette autre forme [t] Y'y + X'x = V'.

Au moyen de l’eq.Z'=0, il serait facile de démontrer que V' se réduit toujours à un polynôme de degré inférieur à Z' : je me bornerai à vérifier cette proposition dans deux exemples.

472. Exemple I. Considérons les lignes du second ordre, dont l’équation générale est

[A] Ay*-j- Bxy -|- Cx*-j- Dy -|-Ex -j- F = 0.

Alors on a Y'= 2Ay' +Bx' + D, X' = By ' + 2Cx' +E, V'=2Ay',4- 2Bx'y' -f 2Cx'* -j- iy + Ex'.

Or, l’équation [A] donne 2A y'* -f- 2Bx'y' -j- 2Cx'* = — 2 Dy' — 2 Ex' — 2F; donc V'== — Dy' — Ex' — 2F. En conséquence l’équation de la tangente devient

(2Ay + Bx' + D) y -(- (By' -f 2Cx'+ E) x -(- Dy’ + Ex'-j- 2F = 0.

Exemple II. Prenons encore l’équation, déjà construite n° 183, y* — 3oxy -j- xs = 0. On aura Y' = 3y'* — 3«x', X'— 3x'* — 3ay', V — 3y':| — t>ax'y'+3x's=3ax’y'; parsuitel’équalion de la tangente est (y” — ax') y -j- (x'! — ay') x — ax'y'.

Tangentes aux courbes rapportées à des coordonnées polaires.

473. Quand une courbe CD (fig. 204) est donnée par une équation polaire, on détermine sa tangente, en un point quelconque M, au moyen de l’angle AMT qu’elle fait avec le rayon vecteur AM. Pour connaître cet angle, on considère toujours la tangente comme une sécante passant par deux points M et M' qui viennent se réunir en un seul. Soit M’MS cette sécante : avec AM décrivez un cercle qui rencontre le rayon vecteur AM' en N, menez la droite NMH, et tirez AS parallèle à NH. Les triangles ASM', NMM' sont semblables, et donnent