AM AM
MN
Cherchons aussi ce que devient alors le rapport Soient o>, p,
les coordonnées polaires du point M, et to -| -h, p-j -k, celles du point M'; de sorte qu’on ait l’angle MAX = <o, AM = p, angle MAN = A, M'N = /;. Abaisserz AI perpendiculaire à MN,
on aura MN = 2N1
. , , . MN 2psin |A
: 2p sin } h ; donc ^7 = ^ Pour
trouver la limite de ce rapport, écrivons-le ainsi :
MN
MN
x-kxP.
Au moment ou M' et M se confondent , h devient zéro , et on sait qu’alors le rapport de sin i h à ' h doit être égal à 1 (31). De plus, nommons 6 ce que devient le rapport de A k A; et nous aurons Bp pour la limite cherchée. Ainsi, au moment où la sécante devient tangente, l’équation [1] donne
[2] tang AMT = Op.
La position de la tangente MT ne dépend donc que de la seule
quantité 6, qui est la limite du rapport de l’accroissement de l’angle i» à celui du rayon vecteur p ; et il est clair que, dans chaque cas particulier, cette limite se déduira de l’équation polaire de la courbe, tout à fait de la même manière que si t» et p étaient des coordonnées parallèles à des axes.
Quand on emploie les coordonnées polaires, on appelle soustangente la distance AT comprise entre l’origine et la tangente, sur la perpendiculaire élevée au rayon vecteur par l’origine. Cette distance se déduit du triangle rectangle AMT, et l’on a
AT = p tang AMT = 0p*.
474. Exemple. Prenons l’équation polaire des lignes du second ordre (438),
\ — ecos «a
Si on y change ueiuo-j- A, et p en p -f- k, il vient
^ \ — e cos (» -f fi)
En retranchant p de p -(- k, on a
p p pe (cos (w -f- h) — cos io]
1 1 — ecos(t»-(- A) 1 — ecosm (t — ecost»)[l — ecos («*>-(- A)]’
et par suite
h A(i — ecosw)[l — e cos («o + h)] k pe [cos (to -(- À) — cos w]
Mais la formule connue cos ÿ — cos/>=2sinj(/)-fg')xsin!l(/j — q) donne cos w — cos (co -)-/() = 2 sin (w [ h) sin [ h ; donc
h (t — ecosto)[l — e cos (w -j- A)] {A
A pe sin (w -f- 1 A] sin [ A
Pour avoir la limite de ce rapport, il faut supposer A = 0 : alors, en désignant cette limite par 0, il vient
(1 — e cos ta)*
pe sin e» ’
par conséquent la formule [2], en y mettant la valeur de p et celle de 8 devient
. 4 — e cos to tang AM l = ; .
Asymptotes des courbes algébriques.
47o. Soit, comme dans le n° 240, y=cx-\-d l’équation d’une asymptote non parallèle aux ordonnées. D’après la définition des asymptotes, l’équation de la courbe doit donner une valeur de y telle que y— ex -{-cl -f- V, dans laquelle Y est une quantité qui devient nulle quand on fait x = ± co.
De cette égalité on tire d’abord c — — — , d—y — ex — Y :
et ensuite l’hypothèse x = ± œ donne
c = lim. - , d — lim. (y — ex).
Ce sont ces limites qu’il faut déterminer, et c’est ce que je me propose de faire ici pour les courbes algébriques en général. Considérons des polynômes quelconques en x et y, et soient
U = Axvyl -f- Bx'y' -(- etc., U,= A 'xp'yq'-\- B'x^y'1 -f- etc.,
U, = A'af V'+ B"xrY,,+ etc., etc.
Supposons que tous les termes de U soient du degré m, que ceux de U, soient du degré m — 4, et ainsi de suite : les courbes algébriques de l’ordre m pourront être représentées par l’équation
[1] U + Ut -)- U, -)- etc. = 0.
Cela posé, pour avoir c, il faut faire y = ex dans l’équation [t], et chercher la valeur de c correspondant à x = ± c». Or, puisque les termes de U sont du degré m, il est clair qu’après la substitution de ex, ils contiendront tous xm; de même ceux de U, contiendront X”*-1 ; et ainsi de suite. Pour abréger, faisons
T = A cq -f- Bc“ -|- etc. , T, = A ’cq' -j- BV” -f- etc. ,
T,= A "C" + BV" -(-etc., etc.;
l’équation [1] deviendra Tx*-j- Tixm l + T,xm-* + etc. =0, ou
bien, en divisant par x”, T + "^ + p + etc- =0- Maintenant supposons x = ±co, il reste T = 0, ou
[2] A (fl -f Bc* -(- etc. = 0 :
telle est l’équation dont les racines réelles seront les valeurs de c.
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE a »EUX DIMENSIONS. 335
Connaissant c, passons à la détermination de d. Dans l’équation [1] je fais y — cx = d, ou plutôt y = cx-\-d. Je représente par T', T", T,", T,', Ts", etc., les polynômes dérivés
relatifs à c , de T, T, , T, , etc. ; et l’équation résultante , ordonnée par rapport à x , sera
TV” + (Td + T,) xm~i + (?-= d* + îi- d + a—* + etc. = 0.
La partie TV" est nulle en vertu de l’éq. [2j. En la supprimant, divisant par xm~l, puis supposant x = ±qo, il reste l’équation
[3] rd + T1=0,
qui donnera la valeur de d correspondant à chaque valeur de c.
Ainsi les asymptotes non parallèles aux y sont déterminées par les équations [2] et [3]. La première, qui détermine c, dépend uniquement des coefficients du polynôme U; et la seconde, qui détermine d, se forme au moyen des seuls polynômes U et U, , sans rien emprunter à ceux d’un degré inférieur.
Il y a cependant une observation importante à faire. Il se peut qu’une valeur de c fasse disparaître de l’équation TV” -f- etc. = 0, non-seulement les tenues en xm, mais aussi ceux en x m~1. Dans ce cas on divise par r"'1, et on a, pour déterminer d, l’équation X" T '
— d1 4 -p d 4 T, = 0, laquelle en général est du 2e degré.
S’il arrive que les termes en i*"! disparaissent aussi, on recourra à ceux qui renferment x”1-*; et ainsi de suite.
Pour ne manquer aucune asymptote , il ne faut pas oublier de chercher celles qui sont parallèles aux y. Elles sont déterminées par les valeurs de x qui rendent y infini : or, en supposant que l’équation proposée soit ordonnée par rapport à y, et qu’alors elle soit Vÿ” 4 V,ÿB-1 4 etc. = 0, on la divisera par y", et on reconnaîtra sur-le-champ que les valeurs de x, pour lesquelles on a y — zt co , sont données par l’équation Y = 0.
