Exemple I. Soit l’équation générale du 2e degré

[A] Ay* 4 Bxy 4 Cx* 4 Dy 4 E* 4 F = 0,

il faut chercher çe que deviennent dans ce cas les équations [2] et [3], Pour plus de commodité, on remarquera que T et T, ne sont autre chose que les polynômes U et U, , dans lesquels on a supprimé x et changé y en c.

Cela posé, on aura U = Ay* -f- Bxy + Cx*, U, = Dy -j- Ex ; T = Ac* -f Bc -f- C , T, = De + E, T' = 2A c + B. Par suite les équations [2] et [3] deviennent

Ac* + Bc-j-C = 0, (2Ac + B)rf + De + E = 0; et on en tire

B + \Zb* — 4 AC D PB — 2AE

C~ 2A~ 2A ’ 2A 2Av/B‘ — 4AC*

Ces valeurs reviennent à celles du n° 248 : en les mettant dans l'équation y — ex d, on aura les asymptotes.

Exemple II. Soit l’équation

y3 — 3 axy -j- x* = 0.

Dans ce cas, on aU^y'+i*, U,= — 3axy, T=c’+1,T,= — 3 ac, T'= 3e1; et les équations [2] et [3] sont

c8-{— 1 = 0, 3c*d — 3ae = 0; d’où c = — I, d = — a.

Donc la courbe a une asymptote dont l’équation est y — x — « : c’est la droite GH (fig. 203).

477 . Plusieurs auteurs déterminent les asymptotes en les considérant comme limites des tangentes. Cette proposition, qui a été vérifiée à l'égard de l’hyperbole (406), peut se démontrer d’une manière générale. Supposez que le contact s’éloigne à l’infini, et que la tangente MR (fig. 206) devienne GH, dont l’équation est y = cx-\-d. Soient x', y', les coordonnées du point M; menez

AM dont l’équation est y = ^-,x. Quand le contact est à l’infini,

RM et AM devront être considérées comme parallèles : or, la tangente RM coïncide avec GII; donc aussi alors AM doit devenir

parallèle h GH ; donc limite de ~ = c.

Maintenant menez l’ordonnée MP qui rencontre GH en N, et menez aussi AE parallèle à GH. La figure donne ME=MP — PE = NE — MN. Mais MP=y', PE — ex1, NE= AG = rf; par conséquent rj—cx'—d — MN. Or, quand le point M s’éloigne à l’infini, puisque la tangente devient GH, il faut que la distance MN devienne nulle; dont limite de (y* — ex') = d.

Ainsi, on voit que les valeurs de c et d sont les mêmes pour les limites des tangentes que pour les asymptotes.

478. Les lignes droites ne sont pas les seules qu’on puisse prendre pour asymptotes. Par exemple, considérons les lignes paraboliques, dont l’équation est y = ex* -f- dx-\-e: Pour que cette équation représente une asymptote d’une courbe donnée, il faut qu’on puisse tirer de l’équation de cette courbe une valeur de y. dont la différence avec la précédente soit nulle quand x est infini ; donc cette valeur doit être de la forme y =cx* + dx e -f- V, V étant une quantité qui devient zéro quand x=±cr>. Or, de là on tire

e — y — ex * — dx — V;

et, quand on fait x = dx oo, la quantité V et celles qui sont comprises dans les parenthèses deviennent zéro : donc on a

c = lim tf = lim.^ , e=lim. [y— ex*— dx).

En conséquence, dans l’équation de la courbe donnée on fera y— ex', et on cherchera la valeur de c correspondant ài=±co; ensuite on fera y — ex1 — dx ou y — ex' -}- dx, et on cherchera la valeur de 'd correspondant à a; =:£:<*>; puis enfin on fera y — cxi — dx — e ou y — cx'-\-dx-\-e, et on cherchera la valeur de e qui répond à x — ± œ.