Enfin , par la division , et en observant en général que
sin A cos A
tang A =
cot A’
les dernières formules donnent les suivantes, qui sont d’un usage non moins fréquent :
sin p
sin q
sin
i (p + g) cos
sin p
sin q ~
- co s
i(P + î) sin
sin p
sin q
sin
cosp
cos q
- co s
sin p
sin q
cos
cos q
cosp
sin p
sin q
sin
cosp
tu
~~ cos
sinp
sin#
cos
= cot {(p — #),
cos q — cosp cosp + cos <?
= tang{(p — q), COt {(/> + ?),
sin î(p + g) cos’(p + #)cos|(p — q)
cotj(p + ?)
cos# — cosp sin {{p + q) sin J (p — q) tang \[p — q)
Parmi ces formules, nous remarquerons particulièrement la première , qu’on peut énoncer en ces termes : la somme des sinus de deux arcs est à la différence de ces mêmes sinus, comme la tangente de la demi- somme des arcs est à la tangente de leur demidifférence.
TRIGONOMÉTRIE
41. En étudiant les auteurs, on rencontre quelquefois des transformations trigonométriques dont on n’aperçoit pas l’origine. Le mieux est alors de se borner à les vérifier, ce qui ne peut jamais offrir de difficulté. Par exemple , pour vérifier la relation
sin (a -f- b) sin (a — b) — sin’ a — sin* b ,
je remplacerai d’abord sin (a -[- b et sin (a — b) par leurs valeurs (28), et j’aurai
sin (a + b) sin (a — b) = sin* a cos’ b — cos’ a sin* b;
puis à la place de cos’ a et cos* b, je substituerai encore l — sin’a et 1 — sin’ b. Après que les réductions auront été effectuées, on trouvera l’égalité proposée.
S’il s’agissait de cette autre relation
cos a =
1 — tang* J a 4 -f tang* )a’
je mettrais pour tang J a sa valeur deviendrait
sin { a cos }-a’
cos* J a — sin’ J a cos* j a -f-, sin’ { a'
et le second membre
Or, on sait (n°* 20 et 29) que cos’ | a -]- sin* { a = 1 , et que cos’^a — sin* {a = cos a; par conséquent l’expression précédente se réduit à cos a , et c’est ce qu’il fallait démontrer.
Voici encore plusieurs transformations que je propose comme exercices :
cos [a 4- b) cos (a — b) — cos’ a — sin’ b,
1 + tang a tang £ a
. . . sin (a + b)
tang a + tang b = — !
1 cosa cos f»
tang a tang b + tang c = tang a tang b tang e.
La dernière formule suppose que a -(- b c = 1 80®, et elle prouve qu’on peut choisir d'une infinité de manières trois quantités telles que leur somme soit égale à leur produit.
Démonstrations géométriques des formules trouvées précédemment.
42. Le lecteur a sans doute remarqué qu’après avoir établi par la géométrie les formules qui expriment sin (a b) et sin (a — b), j’ai employé l’algèbre pour en déduire toutes les autres. De là résulte que, les premières étant vraies pour tous les arcs possibles, les dernières ne peuvent manquer d’avoir la même généralité : c’est là le caractère essentiel des méthodes analytiques. Au contraire , en se servant des constructions géométriques , il y a toujours lieu de craindre que les conséquences ne conviennent qu’aux seuls cas qui sont représentés dans les figures ; cependant , comme elles ont l’avantage de rendre la vérité plus sensible, je vais encore démontrer par cette voie les principaux résultats obtenus précédemment.
43. Le sinus et le cosinus d’un arc étant donnés, trouver le sinus et le cosinus de l’arc double.
Soit (fig. 6) l’arc Aü = BC = a , et faisons les constructions telles que les indique la figure : on a
sin a = AF, cos a = OP, sin 2a = CQ = 2PH, * cos 2a = OQ = OH — QH = OH — AH.
Le triangle rectangle OPA donne
