Étant donné cos a, trouver sin \ a et cos 4 a

Prenez l’arc AC = a (tig. 7), menez CP perpendiculaire au diamètre AB, puis tirez les cordes AC et BC, ainsi que les deux rayons 01) et OE qui les coupent perpendiculairement en leurs milieux. En supposant toujours 0A = i, on aura OP = cos a, AP =1 — cos a , BP = i -j- cos a, AC = 2 sin { a, BC = 2 cos \ a. Or, chacune des cordes est moyenne proportionnelle entre le diamètre et le segment adjacent ; donc

AC" = AB x AP ou 4 sin* J a = 2 (1 — cos a),

BC* = ABXBP ou 4cos’ |a =2(4 -j-cosa).

TMGO.NOMÉTHIK. 31

ï)e là on tire les formules (n0 31), qui expriment sin | a et cos | a,

sin|a=: ^ *

\ — COSÛ

cos v a

+ cosa

45. Le sinus et le cosinus d’un arc étant donnés, trouver le sinus et le cosinus de l’arc triple.

Considérons la tig. 8, dans laquelle le rayon OB = t et l’are AB=BC=CD=a. Le triangle isoscèle BOD est semblable à BDF: car l’angle OBD est commun, et l’angle BDF, qui a pour mesure 1 BAE ou BCD, est égal à BOD. On a donc