UM OM' OM

— = — = ... , la courbe au sera semblable a AB.

OiN ON' ON" ’

Imaginons que la courbe cd soit reportée en ab, et que les lignes ON, ON',... se placent en om, om',...; les points 0 et o, d’où partent alors les rayons proportionnels, sont nommés centres de similitude. Il est d’ailleurs évident que les rayons de l’une des deux courbes font entre eux les mêmes angles que ceux de l’autre courbe auxquels ils sont proportionnels, et qu’on peut désigner par le nom d ’ homologues.

La courbe ab peut avoir telle position qu’on veut à l’égard de AB sans cesser de lui être semblable. Quand cette position est telle que les rayons de l’une soient parallèles à leurs homologues de l’autre, on dit que les courbes sont semblablement situées. Quand elles sont disposées comme cd et AB, de manière que les rayons homologues partent du même point et soient dirigés suivant la même droite, elles ont meme centre de similitude et situation semblable.

480. Quand deux courbes sont semblables, je vais montrer qu’on peut prendre tel point qu’on veut pour centre de similitude de l’une d’elles, et qu’il y a toujours pour l’autre un centre correspondant. De ce que les courbes ab et AB sont semblables , il s’ensuit qu’il existe un point U tel qu’en donnant à ab une position convenable cd , et tirant a volonté OM, OM', qui coupent les courbes en M et N, M' et N', on aura OM : ON : : OM' : ON'. Le point O est un centre de similitude : or je dis que les mêmes conditions peuvent être remplies à l’égard d’un point quelconque G.

Tuez OG, GM, GM' J menez Nil parallèle à GM; joignez HN'. On auraOG ; OH OM :ON :: OM' ; ON'; donc HN' est parallèle à GN'; donc l’angle NHN' = MGM'. Par conséquent, si sur GM et GM', on prend GP = HN et GP' — UN', puis si on donne à la courbe cd une nouvelle position ef telle que HN vienne coïncider avec GP, la ligne HN' coïncidera aussi avec GP'. D’ailleurs GM : HN :: OG : OH :: GM’ : HN'; donc GM : GP :: GM' ; GP'. Ainsi les conditions de similitude sont encore remplies en prenant le point G au lieu du point 0, pourvu qu’on porte la courbe ab en ef.

Quel que soit le point qu’on prenne pour centre de similitude, le rapport des rayons vecteurs homologues reste invariable, puisqu’on

a GM : GP :: CM : ON. Ce rapport pourrait être désigné sous le nom de rapport de similitude.

481. Proposons-nous cette question : l'équation d'une courbe étant donnée, trouver l’équation générale des courbes semblables.

Soit AB (fig. 208} la courbe dont on donne l’équation

Menons de l’origine les rayons OM, OM',... et divisons-les proportionnellement en m, m',... : le lieu des points m, m',... sera une courbe ab semblable à AB. Désignons par k le rapport de OM à Om, par x et y les coordonnées d’un point quelconque M de la courbe AB , par x' et y' celle du point homologue m : il est clair

, x y OM , , , ,

qu on aura — = ^ = — = A, d ou x = kx, y = ky .

En mettant ces valeurs dans [a] , l’équation résultante

[è] F(Ax', kÿ) =0

comprendra toutes les courbes semblables à la proposée; et on les obtiendra en donnant au rapport k toutes les valeurs possibles.

Mais ces courbes auront une situation particulière : car l’origine est le centre de similitude commun à elles et à la courbe proposée, et de plus les rayons vecteurs homologues sont dirigés suivant la même droite. Donnons à ces courbes une autre situation ; et d’abord supposons que les axes Ox et O y se transportant parallèlement à eux-mêmes en Û'x' et 0'y', la courbe ab devienne cd. Elle aura, relativement à ces nouveaux axes, la même éq. [6] que relativement aux anciens ; et, si on veut continuer de la rapporter à ceuxci , il suffit de changer, dans cette équation . x' en x — a, et ÿ en y — b, a et b étant les coordonnées du point O' par rapport aux axes Ox, Oy. De cette manière on trouve l’équation

qui représente toutes les courbes semblables à la proposée, et semblablement situées.

Cette équation n’a point encore toute la généralité désirable. Pour l’atteindre, il faut que les axes Ox et Oy, au lieu de se transporter parallèlement à eux-mêmes, soient déplacés d’une manière quelconque dans leur plan. Supposons donc qu’ils soient devenus O'x', O'y (fig. 209), et que cd soit la nouvelle position de la courbe ab : il est clair que l’équation de cd, relativement aux nou-

DEUXIÈME PAKTIR.

veaux axes, sera encore F[kx', kÿ) = 0; et la question est de trouver quelle équation on doit avoir en rapportant la nouvelle courbe aux mêmes axes Ox, O y, que AB.

Pour passer des premiers axes aux derniers, on a (t89)

x'sin(6 — a)-f-ÿ'sin(0 — a') L , x'sina-f y'sina'

j. fl + siuQ ’ y sin0

Dans ces formules, a et 6 sont les coordonnées OG et GO' du point O', 0 est l’angle yOv, a et a' sont les angles x'O'E, y'O'E, formés par OV et O'ÿ avec une parallèle à l’axe Ox. Ici on a a'=0 et par suite les formules deviennent

a/sin (0 — o) — ^sin a sinO

ysino-J-y'sin(04-“)

sinO

Réciproquement, on tire de ces relations les valeurs de y, xf ’, en

fonctions de x et y, savoir

, ( x — a)sin(0 + a) -|- [y — 4)sina

sinO

, — (x — a) sin a [y — b) sin (0 — a)

" sinO

En substituant ces valeurs dans I’éq. F (fcc', hj) = 0, la courbe cd sera rapportée aux axes primitifs, et on aura ainsi l’équation la plus générale des courbes semblables à la courbe donnée.

Applications.

482. Pour première application, considérons la parabole dont l’équation est y * = 8 \px.

Si on change y en ky, x en fcc, et si on pose p = pk, il vient yl= 2p'x. Cette équation donne toutes les courbes semblables à la parabole : elle montre que ces courbes sont elles-mêmes des paraboles. En faisant varier k, le paramètre 2// peut prendre telle grandeur qu’on veut; donc toutes les paraboles sont semblables.