Plus généralement, considérons une équation algébrique

qui ne renferme qu’une seule constante p, et qui est homogène par rapport aux trois quantités x, y, p : c’est-à-dire que la somme des exposants de ces trois lettres est la même dans tous les termes, comme cela arrive dans l’équation y 3 — 3 pxy -j- x’— 0.

Le changement de x et y en kx et ky donne, pour les courbes semblables, l’équation

F [kx,ky, p)z= 0.

Posons p = kp' : elle devient F {kx, ky, kp’)= 0. Supposons que la somme des exposants de x, y , p, dans chaque terme de l’équation proposée, soit égale à m, il est clair que km sera facteur commun de l’équation précédente; par conséquent, après avoir divisé par km, on aura une équation

qui ne différera de la proposée qu’en ce que p' aura pris la place de p. D’ailleurs p' pouvant avoir telle grandeur qu’on veut à cause de k, on en conclut que toutes les courbes données par l’équation F [x, y, p) =0, en y faisant varier p , sont semblables entre elles. On peut même ajouter qu’elles sont semblablement situées, et que l’origine est un centre de similitude qui leur est commun.

484. Soit encore l’équation transcendante y — M logx, qui représente une famille de courbes appelées logarithmiques. Elles diffèrent les unes des autres à raison du coefficient M : mais elles rencontrent toutes l’axe des a; à la même distance OA=l (Hg. 210), car x= 1 donne y = 0 ; et elles ont toutes pour asymptotes la partie inférieure de l'axe des y , car x = 0 donne y — — co. D’ailleurs, elles ont la forme indiquée dans la figure.

Remplaçons x et y par kx et ky, il vient ky = M logAx : de là, en faisant M = M 'k, on tire y = M’ logfcr = M’ logx + M’IogA-, Prenons 00’ égal à M’IogA, et plaçons l’origine au point 0’. En nommant x', i /, les nouvelles coordonnées, on aura x — x', y = i/-\~ M’IogA, et l’équation précédente se réduit à

ÿ'=M'logx’.

Cette équation représente encore une logarithmique; et comme M' peut prendre toutes les grandeurs possibles, il s’ensuit que toutes les logarithmiques sont semblables.

483. Pour dernière application , proposons encore de chercher les conditions qui doivent être remplies lorsque deux courbes du second ordre sont semblables et semblablement placées. Soient

[1] Ay’ +Bxi/+Cxi+Dy+Ex-fF=0,

[2] A 'y* -f B'xy-f-C'x* + D'y + E'x + F’=0 ,

les équations des deux courbes. D’après ce qui a été dit pour ob-

tenir l’équation [c] du n° 481, il faudra, pour avoir toutes les courbes semblables à la première, et semblablement situées , remplacer dans [1] x et y par k[x — a) et k[ y — b).

En posant, pour abréger. A" = kit1. B" = BA!, C''=CA*, D" = — 2A AA* — B «As + DA, E" = — 2CaA’ — B AA* + EA, F" = AA’A* -(- BaAA* -f- Cn*A! — D6A — EaA -f- F, l’équation résultante pourra s’écrire ainsi

[3] A "y1 + B"xy + C"x' + D "y + FJ’x -f F' = 0.

Pour que la seconde courbe donnée soit semblable à la première et semblablement placée , il faut qu’en déterminant convenablement a, b, A, on puisse rendre identiques les courbes des éq. [2] et [3] ; et, pour que cette identité ait lieu , il faut qu’après avoir divisé les deux équations, l’une par A', et l’autre par A", les termes semblables aient les mêmes coefficients. N’égalons d’abord que les coefficients de xy et de x‘ : on aura

Ainsi on a déjà ces conditions, que les coefficients des termes du 2' degré, dans les deux équations données , doivent être proportionnels.

Supposons donc que ces conditions soient remplies , et qu’on ait A'=Ap, B' = Bp,C' = Cp. Déplus, faisons D'=dp, E'=ep,F=/p: l’équation [2], étant divisée par p, deviendra

[4] Ay'-j-Bzy-f Ce* + rfy + ex -f /■==<).

Pour achever de rendre les courbes identiques, il faut encore D" d E” e F" f

poser — =

= — , — = et, en remettant pour A", D",

A" A’ A" A’ A1 E", F% leurs valeurs , ces conditions deviennent

{5] — 2AAA— BaA + D = rfA,

je] — 2CaA — BAA-fE=eA,

[7] AA* A1 -f BaAA» -f Ca*A’ — D AA — EaA -f F = /*s .

Si on ajoute ces trois équations, après les avoir multipliées respectivement par AA, par ak et par 2, on trouve facilement

[8] 2 fk* + dAA* + ecrAs + DAA + EaA— 2F = 0.

Cette équation ne contient a et b qu’à la trt puissance, et on l'emploie de préférence à l’éq. [7], conjointement avec les éq. [3] et [6], dans la détermination de a, b, A. Il faudra que les valeurs de a et À

soient réelles, et en outre que celle du rapport A soit positive : cherchons quelles conditions résultent de là.

En posant , pour abréger , Bs — 4AC = N . BD — 2AE = G , Brf — 2Ae = ÿ, BE — 2CD = H , Be — 2C d = h, les éq. [S] et [6]

donnent a =

G — gk