QUELQUES USAGES DES COURBES

Construction des équations déterminées.

487. Proposons-nous de construire une équation quelconque à une seule inconnue.

Par cet énoncé, on doit entendre que l’inconnue est une lon-

gueur qu’il faut déterminer par des intersections de lignes , sans effectuer la résolution de l’équation donnée. L’inconnue pourrait représenter toute autre espèce de grandeur, et même un nombre abstrait, sans que la question fut changée pour cela : car il est évident qu’on peut toujours considérer cette inconnue comme une ligne dont le rapport à une certaine unité linéaire est égal au rapport de la quantité cherchée à l’unité de même espèce qu’elle.

Soit l’équation proposée f[x) = 0, dans laquelle x est une ligne inconnue : si on construit par points, ou de toute autre manière, la courbe représentée par l’équation y — f[x), il est clair que les abscisses des points où cette courbe rencontre l’axe des x, sont les racines réelles de l’équation f[x)=- 0. Ainsi, supposons que la courbe soit celle de la fig. 211, les racines cherchées seront x = AR, x= AR', x — — AR"*

On peut encore transposer dans le second membre une partie des termes de l’équation f[x) = 0, Alors on en a une de la forme

on construit les lignes qui ont pour équations y = <p(x), y = <|<(x) ; et les intersections de ces lignes ont pour abscisses les valeurs cherchées. En effet, pour ces points, on a <p(x) =. ^(x).

En général on peut choisir d’une infinité de manières différentes deux lignes dont les intersections fassent connaître les racines d’une équation. Mais une condition essentielle à remplir, et qui est la seule, c’est que 1 élimination de y, entre les équations de ces lignes, donne pour résultante l’équation proposée, ou au moins une équation qui en contienne toutes les racines réelles. Il est bien entendu que, dans le cas où cette résultante renferme d’autres racines que celles de la proposée, il faut, après les constructions, ne tenir aucun compte de ces valeurs étrangères.

488. Si on considère des lignes d’une espèce déterminée, il est facile de reconnaître quelles équations elles peuvent servir à résoudre. Il suffit d’examiner le degré de l’équation finale qu’on obtient en éliminant y entre les équations de ces lignes. Ainsi, l’élimination de y entre les équations de la droite et du cercle donnant une résultante du second degré, on en conclut, comme au n* 171, que la droite et le cercle ne peuvent résoudre que les problèmes dont l’équation est réductible au second degré. Deux courbes quelconques du second ordre donnent une équation finale

du quatrième degré ; et on en conclut qu’on ne doit pas chercher dans les intersections de ces lignes la construction d’une équation de degré supérieur au quatrième. Il est inutile de pousser plus loin ces conséquences : présentons quelques applications.