Considérons encore l’équation du 4e degré

[3] x* -f- ax* -\-bx-\-c = 0 ;

et , laissant de côté les différents systèmes de lignes auxquelles on peut recourir, déterminons-en les racines par les intersections d’une parabole et d’un cercle. A cet effet, prenons les équations

ky = x (x — a)* + (,y — P)* = R!.

Si on élimine y, il vient xi-\-k{k- — 2p)x’ — 2A’ctx-|-(as-f-p* — R!)ft,=0. Or, cette équation devient identique avec [3] en posant

k[k — 2p) = «, 2/i’a = — b, («* + ?* — R *)** = <?: on a donc ainsi trois équations entre les quatre quantités arbitraires k, a, p, R; par conséquent on peut disposer de l'une de ces quantités, et déterminer ensuite les trois autres. Alors on connaîtra une parabole et un cercle dont les intersections auront pour abscisses les racines réelles de l’équation [3].

Cette solution comprend l’équation du 3* degré. En effet, par l’hypothèse c — 0, l’équation [3] devient x* + ax' -f- bx = 0, ou bien x* + ax -}- b = 0, en faisant abstraction de la racine zéro. Alors la dernière des trois relations ci-dessus donne R^a’-j-p’ ; donc le cercle passe par l’origine : et comme la parabole y passe aussi , il est évident que c’est à cette intersection que répond la racine inutile x = 0, qui doit être supprimée.

C’est ici qu’il convient de placer quelques problèmes célèbres, qui ont beaucoup exercé les géomètres de l’antiquité, mais qui ne sont pour les modernes qu’un simple jeu d’analyse.

De quelques problèmes fameux chez les anciens.

492. P hoiilè mf. I. Trouver deux moyennes proportionnelles entre deux droites données.

Soient a et b les droites données, x et y les deux moyennes inconnues, on doit avoir a: x:\x\y, x : y :: y : 6; et ces proportions donnent les équations...

[1] x' — ay, y' = bx,

qui déterminent deux paraboles. Elles sont représentées fig. 2i2, et les valeurs de x et y sont x — AP, y == PM. Cette construction a été donnée par Ménbchhb, géomètre de l’école de Platon.

En multipliant les équations [t] membre à membre, et ôtant le facteur commun xy, il vient xy = ab, équation d’une hyperbole entre ses asymptotes. On peut substituer cette courbe à l’une des deux paraboles , et on obtient ainsi la construction représentée fig. 213, laquelle a aussi été donnée par Ménechme.

On regarde ces deux solutions comme défectueuses en ce qu’elles emploient deux sections coniques , tandis qu'une seule , combinée avec le cercle, peut suffire. En effet, si on ajoute les éq. [ 1 ], il vient y* -j- x* = ay -|- bx; et si on construit cette équation sur des axes rectangulaires , on a un cercle dont l’intersection avec l’une des paraboles détermine les deux moyennes x et y. Voyez fig. 214.

On peut également employer le cercle avec l’hyperbole : cette solution était connue d’ArroLLONius.

Solution de Dioclès. C’est pour résoudre le problème des deux moyennes proportionnelles que Dioclès avait imaginé la cissoïdc. Soit (fig. 21o) une cissoïde décrite au moyen d’un cercle quelconque ALB. D’après la construction de cette courbe, n” 1 84, Prob. 1, on a AM = LD; donc les triangles AMP, LDH, sont égaux; donc on a AP = QB = LR, MP = DR, AQ = BP, PN =QL.

Cela posé, les propriétés des triangles rectangles donnent AQ : QL :: QL : QB, BR : LR :: LR : DR; ou, à cause des lignes égales, BP : PN :: PN : AP, PN : AP :: AP : MP; ou bien encore, ce qui est la même chose, ü BP : PN : AP : MP. Ainsi PN et AP seraient les deux moyennes demandées, si BP et MR étaient les lignes données a et 4.

Déterminons d’abord le point M sur la cissoïde de sorte qu’on ait BP t MP t: a ; b. A cet effet, on prend à angle droit BE = a, EF = b, puis on tire BF, qui rencontre la courbe au point cherché M.

Alors a =

BPX4 MP ’

et en multipliant les termes de la progression ci-

PNXé APxé

dessus paré, puis divisant par MI’, il vient ~ a ; — jÿp— : -jjjp — :4.

Donc, pour les moyennes demandées, on a

PN X b AP X 6 MP ’ V~ MP :

c’est-à-dire qu’il ne s’agit plus que de construire deux quatrièmes proportionnelles, ce qui n’offre aucune difficulté.

Nous avons indiqué, n° 184, Prob. Il, le moyen de décrire la cissoïde par un mouvement continu : ce perfectionnement de la solution de Dioclès est dû à Newton. Descartes a aussi imaginé un instrument avec lequel on construit des moyennes proportionnelles en tel nombre qu’on veut, entre deux lignes données : mais ce n’est plus aujourd’hui qu’un objet de pure curiosité.