Problème II. Trouver un cube double d’un cube donné

Soit a le côté du cube donné, et x celui du cube cherché, il s’agit de construire l’équation [2] ar’ = 2a\

Or elle résulte de l’élimination de y entre les deux équations a*ÿ = xsety = 2a, dont la première est facile à construire par points, et dont la seconde représente une droite parallèle à l’axe des abscisses; par conséquent l’abscisse du point d’intersection, x=AP (fig. 216), donne le côté du cube inconnu.

On peut écrire l’équation [2] de cette manière, x,xx = 2«\ Alors on voit qu’elle peut aussi résulter des deux équationsx,==2ay, et xy—a * ; donc la question peut se résoudre par l’intersection d’une parabole et d’une hyperbole.

En introduisant la racine x = 0, dont on ne tiendra aucun compte dans la suite, l’éq. [2] devient x*=2a3x. Or, en posant xs = ay, cette dernière se change en y* = 2 ax ; donc le problème est encore résolu avec deux paraboles.

On peut ajonter les équations de ces deux paraboles, et il vient y* -|- x' = ay -{- 2ax. On peut donc aussi se servir d’une parabole et d’un cercle, et cette solution est la plus simple.

L’analogie de ce problème avec le précédent est frappante. C’est que le côté du cube double est la première des deux moyennes proportionnelles entre a et 2a. En effet, si on pose les proportions x^ x^

a : x :: x : — et x : — :: — : 2a, on en déduit x3= 2 a*, a a a