Problème III. Diviser un angle en trois parties égales

Soit BAC (tig. 217) l’angle donné. Je décris l’arc BC du centre A avec un rayon quelconque, puis j’abaisse CD perpendiculaire à AB : on peut prendre AB pour unité et AD pour le cosinus de l’arc BC, et le problème sera résolu si je trouve cos J BC. En po-

sant cosBC=a, et cos£BC=x, on a vu (33) que l’inconnue x dépend de l’équation

[3] xs — -J x — ia=0.

Quoique plus compliquée que celle de la duplication du cube, elle se construit cependant par les mêmes courbes.

1° On peut la remplacer par les deux équations y = xs, y = | x -j- { a> lesquelles représentent une droite et une courbe construites tig. 218.

2° On peut prendre les équations kxy — f x — (a — 0, xi=ky, k étant un paramètre arbitraire : c’est-à-dire qu’on peut employer une hyperbole et une parabole.

3° En multipliant l’éq. [3] par x, elle devient x* — -*-«*■ — ’ ax=0. Celle-ci peut résulter des deux équations y* — -}y — {- ax — 0, et x'= y; donc la question peut se résoudre par deux paraboles. Mais il faudra avoir soin de rejeter la valeur x = 0.

4° On peut ajouter ces deux dernières équations, et prendre le système x’=y, x’-| -y* — £y — {ax=0, lequel indique une parabole et un cercle.

Remarque. Outre l’arc BC, il en existe une infinité d’autres qui ont aussi a pour cosinus, et l’éq. [3] doit donner le cosinus du tiers de chacun d’eux. Or, on sait (33) qu’il y en a trois dont les tiers ont des cosinus différents; donc les trois racines1 de l’éq. [3] doivent être réelles et < 1 .

La fig. 218 a été tracée dans l’hypothèse de a = J. Les valeurs de x, en négligeant la valeur zéro, sont x = 0P, x = — OP', x — — OP" ; et il est facile de voir que la première est la seule qui convienne à la question. Maintenant, si on revient à la fig. 217, si on y suppose AD= $ AB, si on y prend AE=OP et qu’on mène EF perpendiculaire à AB, l’arc BF sera le tiers de l’arc BC et l’angle BAF sera le tiers de l’angle BAC.

Usage des courbes dans l’algèbre.

493. Les lignes offrant des moyens faciles de représenter et de peindre, pour ainsi dire, la continuité des grandeurs, peuvent souvent être employées avec le plus grand avantage dans les recherches de pure analyse; c’est ce que je me propose de montrer ici.

Soit f[x) — 0 une équation de la forme Ax”‘ -f- Bxm- 1 -f- Cx^ + etc. = 0, dans laquelle m est un nombre entier positif,

et A, B, G, des nombres quelconques donnés. Adoptons une

certaine longueur pour unité, et considérons

comme l'équation d’une courbe. En faisant passer x par tous les états de grandeurs, l’ordonnée y n’a pour chaque abscisse qu’une seule valeur, laquelle ne peut jamais être imaginaire. De là il suit : 1° que la courbe s’étend indéfiniment vers les x positifs et vers les x négatifs ; 2° qu’elle a , entre deux quelconques de ses points , un coure non interrompu ; 3° qu’elle ne peut point revenir sur elle-même, comme cela arrive fig. 219.

Supposons , ce qui est permis, les coordonnées perpendiculaires entre elles, désignons par f\x) le polynôme dérivé de f{x), et par a l’angle que la tangente à la courbe fait avec l’axe des x : d’après la formule qui donne X n° 41, on aura tanga=/”(x).

Parlanature du polynôme f\x), on ne peut avoir, pour une même valeur de x, qu’une seule valeur de tang a, et cette valeur ne peut pas devenir infinie à moins que x ne soit infini, donc la courbe, en aucun de ses points , ne peut présenter les formes indiquées sur la fig. 220 en M et M'.

Mais rien n’empêche que certaines valeurs de x ne rendent f'[x) = 0 ; alors il y aurait des tangentes parallèles aux abscisses, comme cela arrive aux points N et N'.

496. Cela posé, admettons que deux abscisses AP et AP' (fig. 221) donnent des ordonnées de signes contraires, MP etM'P': la courbe ne pourra point aller de M en M' sans rencontrer l’axe Ax en quelque point R , situé entre P et P'. Or il est évident que l’abscisse x= Alt est une racine de l’équation f[x) = 0; de là ce principe si connu en algèbre : Lorsque deux quantités substituées dans l'équation proposée donnent des résultats de signes contraires, il y a au moins une racine réelle comprise entre ces quantités.

On voit aussi, à l’inspection de la fig. 222, qu’entre deux ordonnées de signes contraires la courbe peut avoir plusieurs intersections avec la ligne Ax , mais toujours en nombre impair. Si les deux ordonnées étaient de même signe (fig. 223) la courbe pourrait n’avoir aucune intersection entre P et P', ou bien il y en aurait un nombre impair. Donc, si deux quantités comprennent entre elles un nombre impair de racines, et qu’on les substitue dans l’équation, on trouvera des résultats de signes contraires ; et si ces quantités ne

comprennent aucune racine, ou si elles en comprennent un nombre pair , les résultats seront de même signe.

497. Cependant il y a des cas où la dernière proposition paraît en défaut. 11 peut se faire que la courbe, après avoir atteint l’axe Ax en un point R (fig. 224), ne passe pas immédiatement de l’autre côté de cet axe. Alors les ordonnées MP et M'Fpeuvent être de signes contraires quoique les points communs à la courbe et à l’axe Ax soient en nombre pair. Mais alors aussi on doit observer que l’équation f[x) = 0 a un nombre pair de racines égales à AR, et que, par cette raison, il convient de considérer le point R comme étant la réunion d’un nombre d’intersections pareil à celui de ces racines égales ; c’est ce qu’il faut éclaircir.

Désignons AR par a : pour avoir l’ordonnée ÿ, correspondant à une abscisse a-\- h, il faut substituer a-\-h au lieu de x dans f(x). Représentons comme à l’ordinaire par f[a ), f(a), fv{a), les quantités qu’on obtient en faisant x = a dans le polynôme f[x) et dans ses dérivés , on aura

etc.

Puisque a ou Alt est racine de l’équation on a f[a) — 0; donc

y = ffl + ffl + ^! + elc.

De plus, comme la courbe, après avoir atteint le point R, ne passe pas de l’autre côté de l’axe Ax, les ordonnées très-voisines de ce point, soit à droite, soit à gauche, doivent être de même signe; par conséquent, en prenant pour h des valeurs aussi petites qu’on voudra, positives et négatives, l’expression précédente doit conserver le même signe, ür, pour que cela soit, je vais prouver qu’on doit avoir /'(a) = 0. Écrivons la valeur de ÿ comme il suit :

f'[a) hf"(a) hr\a)

-f- etc,

Alors il est évident que si f'(a) n’était pas zéro , on pourrait prendre h assez petit pour que la quantité comprise entre les accolades eût le signe de f[a), et que par suite y' changeât de signe en même temps que h ; donc on a f[a) =0. Rien n’empêche même que plusieurs autres des quantités /"'(a),... ne soient nulles aussi; mais le raisonnement précédent montre qu’il faudra toujours que le plus petit exposant de h, dans les termes restants, soit pair.

deuxième; partie.

Pour fixer les idées, je suppose qu’avec f[a) — 0 et f(a) = 0, on ait encore f"(a) = 0 et f'"(a) = 0 : comme on démontre en algèbre que ces quatre conditions établissent l’existence de quatre racines égales à a dans l’équation f(x) = 0, on voit clairement pourquoi l’on convient de regarder alors le point R comme représentant quatre intersections que des hypothèses particulières ont fait coïncider en une seule. Et remarquez bien qu’en ce point l’axe Axest tangent à la courbe, puisqu’on a tang n=zf{a) = 0 (493).

498. La courbe peut quelquefois atteindre l’axe Ax, puis passer de l’autre côté, et avoir cependant cet axe pour tangente (fig. 225). C’est ce qui arrive quand le nombre des quantités f'(a), qui

deviennent nulles en même temps que f(a), est pair. A lors le développement de y' commence à une puissance impaire de h : par suite, des valeurs de h de signes contraires, mais très-petites, donnent pour y' des valeurs de signes contraires ; et cela prouve que, dans le voisinage du point R, la courbe est située partie au-dessus , partie au-dessous de l’axe Ax. D’ailleurs cet axe est encore tangent puisque f'[a) — 0. Dans le cas dont il s’agit l’équation proposée f(x)= 0 a un nombre impair de racines égales à a, et pour cette raison on convient de regarder le point de contact R comme résultant d’un nombre impair d’intersections qui se sont réduites à une seule.

• 499. Je placerai ici quelques propositions qui sont attribuées à Rolle, auteur d’un procédé, connu sous le nom de Méthode des cascades, pour résoudre les équations numériques.

Si on construit (fig. 226) le lieu de l’équation y = f[x), il est évident qu’entre deux intersections consécutives de la courbe avec l’axe des x, il y a au moins un point, tel que M, dont l’ordonnée MP est plus grande que celles qui la suivent ou qui la précèdent immédiatement ; et je vais montrer qu’en ce point la tangente est parallèle aux abscisses.

Soit AP = a , faisons x — u-\-h dans f[x), et nommons y l’ordonnée correspondant à a -f- h : on aura, comme dans le n° 497,

ij — f[a) + -j- ^ f -(- etc. En donnant à h des valeurs po-

il 1 .2

sitives ou négatives, mais toujours très-petites, on trouvera les ordonnées qui suivent ou qui précèdent immédiatement MP : or, toutes ces ordonnées doivent être moindres que MP ou f[a) : donc

la quantité ^ ^ . Q'' | etc. , qui est ajouté à f(a) dans y',

doit rester négative pour toute valeur très-petite de h, soit positive, soit négative. D’après les raisonnements du n° cité, cette condition ne peut pas être remplie à moins qu'on n’ait f(a) = 0; donc la tangente en M est parallèle aux abscisses. Il est d’ailleurs possible qu’il y ait, entre deux intersections consécutives de la courbe avec kx, plusieurs points pour lesquels la tangente soit parallèle à cet axe, comme cela arrive entre R" et R"; et il est évident que les abscisses de ces points doivent toujours être racines de l’éq. f[x) — - 0.

Donc, lorsque l’équation f(x) = 0 ne renferme point de racines égales, si on forme une suite décroissante composée : 1° de la limite supérieure des racines positives de cette équation’, 2“ des racines réelles de la dérivée f(x) = 0; 3° de la limite supérieure des racines négatives de la proposée; chaque racine réelle de la proposée sei’a comprise entre deux termes consécutifs de cette suite.

De là cette conséquence immédiate qui se déduit aussi de la figure, savoir : que le nombre des racines réelles d’une équation ne peut pas surpasser de plus d’une unité le nombre des racines réelles de sa dérivée. Et même on peut dire que le nombre des racines réelles qui, dans la proposée, sont affectées d’un certain signe , -j- ou — , ne peut jamais surpasser de plus d’une unité le nombre des racines de même signe qui se trouvent dans la dérivée.

11 est bien entendu que les racines réelles de chaque signe peuvent être moins nombreuses dans la proposée que dans la dérivée.

500. Je vais faire voir maintenant comment la Géométrie indique des méthodes pour approcher des racines des équations.

Reprenons l’équation kxm Rzm 1 -|- Grm * -f- etc. = 0, dont j’ai désigné le premier membre par f[x). Je suppose qu’on connaisse une racine avec un certain degré d’approximation ; il s’agit d’en obtenir une valeur plus approchée.

Soit MM’ (lig. 227) la courbe dont l’équation est y = f[x), et soit AR la racine dont on a déjà une première approximation p = AP. Menons l’ordonnée MP, la tangente MP, et calculons la sous-tangente PP', On a tang MP'x = f{ p), et par suite

PP WP M tangMP'P f[ P)‘

après avoir calculé cette valeur on l’ajoutera à p, et l’on aura une nouvelle valeur approchée p' = AP’.

Menons encore l’ordonnée M'P' et la tangente M'P". En calcu*

lant semblablement, au moyen de p', la sous-tangente P'P", et en l’ajoutant à p' on aura une 3* valeur approchée. Cette valeur servira à en déterminer une 4' : et ainsi de suite, en se servant toujours de la dernière approximation pour en obtenir une nouvelle.

Le lecteur a sans doute reconnu, dans ce procédé d’approximation , la méthode de Newton. Dans le cas de la fig. 228, on voit que les pieds P’, P",... des tangentes s’éloignent de plus en plus du point R ; par conséquent alors le procédé est défectueux. Mais si, comme dans la fig. 227, les ordonnées sont décroissantes depuis le point M jusqu'en R; et si dans cet intervalle la courbe demeure

toujours convexe vers PR, il est évident que les pieds P', P",

s’approchent de plus en plus du point R, et que les calculs précédents donnent en effet des valeurs de plus en plus exactes. Cependant, même alors, on pourrait craindre encore que les pieds des tangentes, quoique se rapprochant continuellement de R, ne pussent pas dépasser une certaine limite, distincte du point R.

501 . Au lieu des tangentes on pourrait employer les cordes , et voici comment. Après avoir trouvé par un moyen quelconque que p et p' sont deux quantités qui, substituées dans f[x), donnent des résultats de signes contraires, et qui ne comprennent entre elles qu’une seule racine, prenez (fig. 229) AP = p et AP’ = p'; et soient les ordonnées correspondantes MP =f(?) et M'P' = ^(p'). Menez la corde MM' qui coupe PP' en P", calculez PF' au moyen des triangles semblables, puis ajoutez le résultat avec AP ou p : vous connaîtrez ainsi AP", que je désignerai par p".

Alors vous chercherez si le point P" est situé du côté RP ou du côté RP' : il suffit pour cela de substituer p" dans f[x ) et d’examiner le signe du résultat. Supposons- le négatif, on sera sûr que la racine AR est comprise entre AP et AP”. Ces limites sont plus rapprochées que AP et AP'; et en continuant l’emploi du même procédé on obtiendra des limites de plus en plus resserrées.

Ce procédé n’est point non plus exempt d’imperfections, mais ce n’est pas ici le lieu de le discuter : notre objet est seulement de remarquer les secours que la Géométrie peut prêter à l’analyse.

Théorème remarquable de M. Cauchy.

502. Je placerai ici ce beau théorème, avec la démonstration qu’en ont donnée MM. Sturm et Lioi villf. , Journal de mathéma-

tiques pures et appliquées. Soit f(z)=0, une équation algébrique de la forme

A zm -f- Hz"-* -f- Cz™'* + etc. = 0,

dans laquelle A, B, C, sont des quantités données, réelles ou imaginaires. Si on remplace z par x-\-y y/ — 1 , f{z) prendra la forme P + Q — 1 , P et Q étant des polynômes en x et y , qui ne contiennent pas / — 1 . Pour résoudre l’équation f[z) — 0, il faut trouver les valeurs réelles de x et y qui annulent à la fois P et Q.

On peut regarder x et y comme l’abscisse OP et l’ordonnée MP d’un certain point M; et lorsqu’on propose de résoudre l’équation f[z) = 0, la question revient à chercher les points dont les coordonnées sont telles qu’en les substituant à la place de x et y, on ait à la fois P=0, Q = 0. Ces points sont en quelque sorte une représentation géométrique des racines de l’équation, et, pour abréger, j’appliquerai le nom de racines à ces points eux-mémes. Si l’ordonnée y est zéro, le point M est placé sur l’axe des abscisses, et alors la racine est réelle.

Traçons dans le plan des coordonnées x et y un contour fermé quelconque ABCD. On peut demander si, dans l’intérieur de ce contour, il y a des points pour lesquels P et Q sont nuis à la fois , et combien il y en a : ou, plus brièvement, ou peut demander combien, dans l’intérieur de ce contour, il y a de racines de l’équation f(z)—0. Pour résoudre cette question, M. Caichï a donné le théorème dont il s’agit et qui s’énonce comme il suit :

Considé'ez le rapport — = R , et supposez qu’il n’y ait sur le

contour aucun point pour lequel P et Q soient zéro en même temps ; pour chaque point de ce contour , le rapport R aura une valeur déterminée. Si l’on suit le contour ABCD à partir d’un point quelconque A en avançant toujours dans le même sens ABCD jusqu’à ce qu’on revienne à ce même / x>int A, le rapport R prend successivement diverses valeurs, et il pourra changer de signe en /mssant par zéro si P devient zéro, et par l’infini si Q devient zéro. Soit i le nombre de fois que ce rappoti. en s’évanouissant et changeant de signe, /Misse du positif au négatif ; soit i' le nombre de fais que ce même rapport,

en s'évanouissant et changeant de signe, passe du négatif au positif; le nombre i ne sera jamais moindre que i' et la différence i — i' sera double du nombre des racines contenues dans l’intérieur du contour ABCD. Ainsi , en désignant par jx le nombre de ces racines, et par A l’excès i — i', on devra avoir p. = { A ,

Le théorème de M. Cauchy consiste dans l’égalité [x=| A ; c’est donc cette égalité qu’il s’agit de démontrer. Dans ce théorème, on suppose qu’en aucun point du contour P et Q ne sont zéro à la fois. H est essentiel aussi d’observer qu’on n’y doit tenir aucun compte des changements de signes que peut éprouver le rapport R en passant par l’infini , et qu’on ne fait aucune attention au cas où ce rapport devient zéro sans changer de signe.

503. Le théorème est évident si, dans l’intérieur du contour et sur le contour même , on n’a jamais P = 0 : alors , en effet , on a ix=0, a=0, et par suite jx = |à.

Cette égalité est encore satisfaite lorsque, dans l’intérieur du contour et sur le contour même, on n’a jamais Q = 0. Alors le nombre (x est encore zéro, et je vais prouver qu’on a aussi A = 0. En effet , le rapport R, quand on aura fait un tour entier pour revenir au point de départ, devra reprendre le même signe qu’il avait d’abord , au commencement du mouvement ; donc , à la fin , il aura passé autant de fois du positif au négatif que du négatif au positif. En outre, à chaque changement de signe , R aura dû s’évanouir, puisque le dénominateur Q est supposé ne pouvoir pas devenir zéro. Ainsi, dans le cas dont il s’agit, la différence A=0; donc l’égalité (x=^ A est satisfaite.

504. Considérons maintenant un point M dont les coordonnées o et 6 satisfont à la fois aux équations P=0 et Q=0, ou , ce qui est la même chose , supposons que z = a -f- b y' — 1 soit une racine, simple ou multiple, de l’équation f[z) = 0. Traçons autour du point M un contour convexe : si pour chaque point N, de ce contour, le rayon vecteur MN est suffisamment petit, on va prouver que, pour ce contour, l’égalité |x={ A doit avoir lieu.

Posons MN = p et nommons u> l’angle de ce rayon vecteur avec l’axe des x. Les coordonnées du point N seront x= a + pcos«o, y = b + p sin <d ; et par suite la valeur générale z = x -j- y \f—i devient z = (a -f b y — 1 ) -j- p(cosü> -j- y' — 1 sinw). En posant a -j- b \J— 1 = A et p (cos <*> -|- \/ — 1 sin to) = 0 , on pourra écrire simplement z=£+8; et la substitution de cette expression chan-

géra f(z) en /'(£-f-0). Si ensuite on développe et si on observe que f[k) — O, il viendra

/•(* + •) = f~ » + Çy + Œ e. + etc.

Par la formule de Moivre (124), on a

0 = p (cos w 4- \J — 1 sin tü),

0*= p’feoso) -(- ydT sin «o)*= p*(cos 2w + y/ — 1 sin2u>),

6’= p*(coso) + T sin<»)*= p5(cos3w 4- \J — 1 sin 3to), etc.

D’un autre côté , les multiplicateurs des différentes puissances de 0 se prêtent à des transformations qu’il importe de remarquer. Par exemple , au moyen du calcul algébrique, on pourra mettre f(k) sous la forme

Les carrés des deux fractions qui ont c et d pour numérateurs font une somme égale à 1 , de sorte qu’on peut regarder ces fractions comme le cosinus et le sinus d’un même angle. Représentons cet angle par a, et y/c’ -f- d * par M, : on pourra écrire /(•) = Mi (cos a, + sinaj; et par suite

0 = M, (cos stj -f sj — 4 sina,)xp(cosü>+ <J — 1 sinw)

= M,p [cos (» -f a,) + \/ — 1 sin (w + «,)]•

Des transformations pareilles peuvent se faire sur les termes qui contiennent les diverses puissances de 0; de sorte qu’on peut écrire

f[x~\~y — M,p [cos («O + gi) 4- y/— T sin (ai + «,)]