DES PROJECTIONS LINÉAIRES ET DES PROJECTIONS SUPERFICIELLES

Projection linéaire d’un système de droites.

525. Soit OX (pi. X, fig. 1) un axe ou droite indéfinie et AB une droite de longueur déterminée, laquelle peut n'être pas dans un même plan avec OX : si on mène AR parallèle à OX , l’angle BAR est celui qu’on prend pour l’angle de la droite AB avec l’axe OX; et si on abaisse sur cet axe les perpendiculaires AA' et BB\ la distance A'F est ce qu’on nomme la projection de AB sur OX. Faisons l’angle BAR = a, AB = /, A'B' = /.i; parallèlement à AA' menons FD, qui rencontre AR au point D, et joignons BD : le triaDgle ABD est rectangle, et il donne

[1] p — l cos a;

donc la projection d'une droite sur un axe est égale au produit de cette droite par le cosinus de l’angle qu’elle fait avec l’axe.

526. Considérons un système de plusieurs droites consécutives, tel que ABCD (fig. 2), et, par les sommets A, B, C, D, menons des plans perpendiculaires à l’axe OX : les points A', B', C', D', où ils coupent cet axe, sont les projections de ces sommets, et les distances A'F, B'C', C'D', sont les projections des côtés successifs AB,

BC, CD. Menons la droite AD qui ferme le polygone, et que nous nommerons ligne résultante ou simplement résultante : cette droite a elle-même A'D' pour projection. Désignons par l, /', l" , les côtés successifs; par a, a, a", les angles qu’ils forment avec les droites AR, BRI, CR", menées parallèlement à OX, et toutes dans le même sens, comme le montre la figure ; par L la résultante AD ; et par o l’angle DAR : les projections de ces différentes lignes seront exprimées par / cos a, l' cos a', /"cos a", L cos <p. Or, quand les angles a, a', a", sont aigus, tous les cosinus sont positifs, et par suite ces produits le sont aussi : d’ailleurs il est clair qu’alors les projections A'B', B'C', CD', s’ajoutent pour composer A'D'; donc on a [2] / COS a -j- /' COS a' -}- 1" COS a" = L COS <p.

Mais s’il y a des angles obtus; par exemple, si DCR" ou a" est obtus (fig. 3), il faut retrancher la projection C D' des précédentes, pour avoir A'D'. Alors aussi /"cos a" est un produit négatif; d’où il suit que la formule ci-dessus donne encore la valeur de A'D' ou L cos <p.

En général , quel que soit le nombre des côtés placés entre les sommets extrêmes, il est facile de voir que les angles obtus donnent des projections qu’il faut retrancher de celles qui répondent aux angles aigus , pour composer la projection de la résultante : et comme l’expression de chaque projection est par elle-même additive ou soustractive, suivant que l’angle est aigu ou obtus, il s’ensuit que la formule [2] a toujours lieu sans aucune restriction.

Cette formule n’est au fond que la traduction analytique de ce principe évident par lui-même, que la somme des projections de plusieurs droites consécutives , sur un axe quelconque , est égale à la projection de la ligne résultante.

Je ferai usage de ce principe pour la transformation des coordonnées dans l’espace; et le lecteur qui serait pressé de connaître les méthodes employées dans l’application de l’analyse aux surfaces, peut dès à présent passer au chapitre suivant.

327. Quand les droites successives, qu'elles soient dans un même plan ou non, forment un polygone fermé, on a L=0, et par conséquent L cos <p = 0 : donc, dans tout polygone fermé, la somme des projections des côtés sur un axe quelconque est égale à zéro.

Dans un polygone fermé un côté est la résultante des autres côtés, et le dernier énoncé ne semble pas s’accorder avec le précé-

dent. La difficulté disparaît en faisant attention que, dans les deux cas , les angles formés par ce côté , avec l’axe de projection , sont suppléments l’un de l’autre. Ainsi, dans la figure 2, si on considère AD comme la résultante, c’est DAR qu’on prend pour l’angle de cette ligne avec l’axe de projection; et si AD est considéré comme côté du polygone, ce sera l’angle ADR ", de même que BAR, GBR', DCR ", sont les angles des côtés précédents avec l’axe.

52B. Plaçons l’axe de projection dans différentes situations. Prenons-le d'abord parallèle à la résultante; alors <p=0 et Lcos<p=L : c’est la plus grande valeur que ce produit puisse avoir. Si l’axe est dans un plan perpendiculaire à la résultante, on a <p = 90° et Lcos<? = 0. Enfin, si l’axe tout en changeant de position continue de faire le même angle avec la résultante, le produit L cos <p restera toujours le même. De là les conséquences suivantes :

4° La somme des projections de plusieurs droites consécutives est la plus grande possible, quand l’axe de projection est parallèle à la résultante; et cette somme maximum est égale à la résultante ellemême.

2° La somme des projections est nulle sur tous les axes perpendiculaires à la résultante.

3" Cette somme reste la même jjour tous les axes qui font avec la résultante des angles égaux.

Remarque. On peut étendre ce qui précède à un système de droites disjointes. Mais alors il faut concevoir ces droites transportées parallèlement à elles-mêmes bout à bout, de manière qu’elles forment une portion de polygone ; et on prend pour résul-. tante la droite qui achève le polygone.

Relations qui résultent des projections faites sur différents axes.

529. Soit OG (fig. 4) une droite donnée, et soient OX, OY, OZ, trois axes perpendiculaires entre eux; si par le point G, on mène des plans parallèles aux plans YOZ, XOZ, XOY, on forme un parallélépipède rectangle dontOG est la diagonale, et dont les arêtes contiguës OA, OB, OC, sont les projections de OG sur les trois axes. Or, le carré de la diagonale du parallélépipède est égal à la somme des carrés des trois côtés contigus; donc la somme des carrés des projections d’une droite, sur trois axes rectangulaires, est égale au carré de cette droite.

Pour convertir cet énoncé en formule, on fera OG= l, OA =p, OB = g>, OC=r-, et on aura

[3] f+ff + r' = l\

530. Si on suppose OG = \ , il est évident que OA = cos GOX , OB = cos GOY, OC = cosGOZ ; par conséquent, en nommant a, p, Y, ces trois angles, il vient

[4] cos’a ~f- cos’P + cos’y = 1 :

c’est-à-dire que les angles d'une droite avec trois axes rectangulaires doivent toujours être tels que la somme des carrés de leurs cosinus soit égale d l'unité.