Maintenant prenons un système de droites l, l, l", qui

peuvent être consécutives ou disjointes ; nommons L la résultante, et supposons qu’on projette /, l", sur trois axes rectangu-

laires. Si on ajoute les projections faites sur un même axe, on aura trois sommes qui devront être respectivement égales aux projections de L sur les mêmes axes (526). Par conséquent, si on nomme

P, p, p', les projections de L, l, V , sur le premier axe,

Q, q , g , les projections sur le second, et R, r, r’, les pro-

jections sur le troisième, on aura

Or, P» + Q* + R1 = L* (529) ; donc

[8] (P+J/ + ...)* + (? + ?' + {r + r' + ..•)* = Ls.

Les trois sommes p-\- p’-\- ..., q-\-q’-\- ..., r-\-r'-\- changent en même temps que les axes rectangulaires; mais l’égalité précédente prouve que la somme de leurs carrés est une grandeur constante, égale au carré de la résultante, quelle que soit la position des trois axes rectangulaires.

On a remarqué (528) la direction de la résultante L comme étant parallèle aux axes sur lesquels la somme des projections du système l, /',... est un maximum; et on a vu aussi que la longueur L est précisément ce maximum. Or , il est facile de déterminer par des formules la grandeur et la direction de L , quand on connaît l, et les angles de ces droites avec les trois axes rectangulaires. En effet, désignons ces angles par a, p, y, a', p', y', etc.,

on aura

p=l cos«, p' = C cos*', etc., ÿ=/cos(3, ÿ'=/'cosP', etc., r—l cosy, r'=l' cosy', etc.;

par suite

P = /cosot + /'cosa' -f etc.,

Q = /cosfl -f" /'cos fl' + etc.,

R = / cos y -j- /'cos y' + etc.

Ainsi , les trois projections P, Q, R, de L, sont connues.

En nommant tp, tp', <p", les angles inconnus de L avec les axes, on aLcos<p = P, Lcos<p' = Q, Lcos<p" = R; et d’ailleurs, par le n° 529, on a aussi L* = P1 -f Q* + R*. De ces quatre égalités on tire

L = vl” + Q* R* , cos <? = r ’ cos'p' = - , cos<p'' = — .

La première formule donne la grandeur de la ligne résultante . et les trois autres en déterminent la direction. Toutefois, il faut se rappeler que , les projections sur des axes parallèles étant égales , ces déterminations ne font pas connaîtmun axe unique, mais bien une infinité d’axes parallèles entre eux.

532. Revenons au parallélépipède (fig. 4) dans lequel OG est une droite donnée , et OA , OB, OC , les projections de cette droite sur trois axes rectangulaires. Si on projette ces trois arêtes , ou leurs égales OA, AD, DG, sur une droite quelconque OV, il est évident (526) que la somme de ces projections sera égale à la projection de OG sur la même droite. Donc, quand on connaît les projections d’une droite sur trois axes rectangulaires , on aura sa projection sur un axe quelconque , en projetant ces trois projections sur cet axe , et en faisant la somme de ces nouvelles projections.

Pour mettre cet énoncé en formule, supposons, comme plus haut, que les projections d’une droite /, sur les trois axes, soient p, q, r, nommons s sa projection sur le nouvel axe, et X, p, v, les angles de cet axe avec les axes rectangulaires : on aura, par ce qui vient d’être dit,

[6] s = pcosX + ÿcosi*-f-rcosv.

En général , la somme des projections de tant de droites qu’on voudra est toujours égale à la projection de leur résultante, quels que soient les axes de projection (526); de là il suit qu’on peut étendre la formule (6] à un nombre quelconque de droites. Ainsi ,

P, Q , R, étant les projections d’un système de droites sur trois axes rectangulaires, et S sa projection sur le nouvel axe, on doit avoir

[7] S = PcosX 4. Qcosg + Rcosv.

533. La formule [6] conduit aussi à une relation remarquable entre les angles. Désignons par 6 l’angle GOY de la droite l avec le nouvel axe, sur lequel la projection de l est égale à s, on aura s = /cos0 : d’ailleurs, on aj» = /cosa, ÿ = /cosp, j- = Zcosy. En mettant ces valeurs dans [6], et ôtant le facteur Z, on trouve

[8] COS 9 = COS a COS X + COS P COS (i + cos y cos v ,

formule d’un usage fréquent, au moyen de laquelle onobtientl’angle de deux droites quand on connaît les angles que chacune d’elles fait avec trois axes rectangulaires.

En posant cos 0 = 0, cette formule donne

[9] cos a cos X + cos p cos g + cos y cos v = 0 :

c’est la condition qui doit avoir lieu pour que les deux droites soient à angle droit.

La formule qui exprime sinO est plus compliquée. En effet, on a sins 0 = i — cos* 0 ; or, à cause de la relation [4] trouvée plus haut, on a (cos*a -(-cos*^ -j- cos*y) (cos*X -j- cos’g -f- cos*v) = \ ; donc

sin’O = (eossa -}- cos’p + cos’y) (cos’X -f cos*g + cos’v)

— (cos a cos X -(- cos s cos g + cos y cos v)*, et, en effectuant les calculs, on trouve facilement

J 1 (cos a cos g — cos X cos P)1 sin0=4 / | -j- (cos a cos v — cosXcosy)*

V | -j- (cos p cos v — 00s g cos y)’.

534. Le principe des projections, n° 526 formule [2] conduit encore à des relations fort remarquables entre les parties d’un parallélépipède oblique, et qui sont d’une grande utilité dans les applications.

Soit (fig. 5) le parallélépipède dont il s’agit : je ferai OG = l, OA =x, OB=y,OC = z, GOX = a, GOY = p, GOZ = y, XOY = X, XOZ = g, YOZ =v. Cela posé, je projette la ligne brisée OADG , ou x -j- y + z, d’abord sur la diagonale OG, et ensuite sur chacune des trois arêtes contiguës OX, OY, OZ. On aura quatre sommes qui devront être respectivement égales aux projections de

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 381 OG ou / sur les mêmes lignes. On obtient ainsi les quatre équations x cos * -f- y cos p + z COS Y = /,

X + y COS X + Zt COS |A = / COS a, xcosX -f- y + zcosv = /cosp, xcosn+ycosv -f- z = /cosy.

Telles sont les relations qu’on voulait établir. Toutes les autres qu’on pourrait trouver entre les dix quantités, l, x, y, z, <*, P, y, X, (a, v, ou entre quelques-unes d’entre elles, seraient des conséquences de celles-là. On s’en convaincra en remarquant que le parallélépipède est déterminé quand on connaît les côtés x,y,z, et les angles X, jjl, v : donc alors la diagonale l et les angles a, p, y, sont aussi déterminés; or, pour cela, il ne faut que quatre équations.

535. Éliminons a, p, y, entre ces équations; et, à cet effet, multiplions la première par /, et remplaçons ensuite / cos a, / cosp, l cos y, par leurs valeurs : il vient

[1 1] ll = X* -j-ÿ1 -j-z* -f-2xÿcosX-]-2a;zcosiA-(-%zcos''. Cette formule fait connaître la diagonale du parallélépipède.

On y parvient encore d’une autre manière. Menons OD ; le triangle ODG donne OG* ou P = OD1 -J- z* -f- 2;.OD.cos COD. Mais le triangle OAD donne OD5 — xl-\- y 1 + 2 xy cos X ; et d’ailleurs le produit ODxcosCOD, exprimant la projection de OD sur OC, doit être égal à la somme des projections de OA et AD sur la même droite OC : donc ODXcos COD = x cos ^-j-ycosv.

En substituant ces valeurs de ÔD* et de ODxcosCOD dans celle de /*, on retrouve la formule [H].

536. Si on veut avoir, entre les angles formés par une droite avec trois axes obliques, la relation analogue à celle du n° 530, il

faudra éliminer l, x, y, z, ou plutôt les rapports , ~ , j , entre les équations [10].

Que si on veut connaître l’angle de deux droites en fonction de ceux qu’elles font avec les axes obliques, on fera la projection du contour x -j- y -j- z, et celle de OG ou l, sur une autre droite OV ; puis on égalera les deux expressions. En posant VOX = a', VOY = p', YOZ = y', GOV = 6, on aura cette nouvelle équation

/ cos 0 = x cos a' -f- y cos P' + z cos y', dans laquelle il n’y a qu’à substituer les valeurs de x , y, z, tirées des équations [10] : le facteur l disparaîtra de lui-même, et on aura cos 0. Je laisse le lecteur faire lui-même le calcul.

Projections superficielles des aires planes.

537. Si, des différents points du contour d’une figure plane, on abaisse des perpendiculaires sur un plan, on formera sur ce plan une autre figure qui est la projection de la première.

Prenons d’abord un triangle dont un côté soit parallèle au plan sur lequel on projette : on pourra, sans que l’étendue de la projection soit altérée, supposer que ce plan a été transporté parallèlement à lui-même de manière qu’il contienne le côté qui lui était parallèle. Soit donc ABC (tig. 6) un triangle dont un côté BC est situé dans le plan de projection UV : abaissez AA' perpendiculaire sur ce plan, A’BC sera la projection du triangle. Menez A'H perpendiculaire sur BC, et tirez AH. La ligne AH est aussi perpendiculaire sur BC, et par conséquent l’angle AHA' mesure l’inclinaison du plan ABC sur le plan UV : nous désignerons cet angle

par «p.

Cela posé , les deux triangles AUC et ABC ayant même base, sont entre eux :: A'H : AH. Mais le triangle AAH étant rec-