A'BC

tangle, ce rapport est égal a cos -f ; donc — — = cos <j>j donc

AKL

A'BC = ABC X cos ®.

Quelle que soit la position du triangle ABC (fig. 7), on peut toujours supposer que le plan de projection UV passe par l’un des sommets, B. Soit A'BC' la projection du triangle ABC, prolongez AC jusqu’à son intersection D avec le plan UV : le point D sera sur la ligne À'C', et les triangles A'BD, C'BD, seront les projections de ABD et CBD. D’après ce qui précède, on a donc A'BD = ABDx cos ®, C'BD = CBDx cos <p; par conséquent, en prenant la différence, on aura A'BC' = ABC X cos <p.

On passe de là au cas d’un polygone en décomposant ce polygone en triangles. Si on nomme T, T', T",... ces triangles, et t, f, t”,... leurs projections, on a t = T cos <p, t' = T' coso,...; donc, en ajoutant, il vient

t + < + t" + ... = (T + T' + T"+ ...) cos®.

Or, la somme T -|- T' + T" -f- ... est égale au polygone, et la somme t + 1' -f- 1" -f- . . . est égale à sa projection ; donc, si on désigne ces deux surfaces par A et a, on aura [12] a = Acos<j>.

Ce résultat s’applique aussi à une aire plane terminée par des

lignes courbes; car ces lignes peuvent être considérées comme des polygones d’une infinité de côtés. Donc, en général, la projection d’une aire plane, sur un plan, est égale au produit de cette aire par le cosinus de l'angle des deux plans.

538. La relation précédente est la même qu’entre une droite et sa projection sur un axe (525); et, d’un autre côté, on démontre facilement par la géométrie que deux droites perpendiculaires à deux plans font entre elles un angle égal à celui des pians : de là résulte la conséquence qui suit. Ditférentes aires A, A', A",... étant situées dans des plans quelconques, si on élève des perpendiculaires à ces plans, si on prend sur elles des parties/,/', /",... proportionnelles aux aires A, A', A",..., et si on projette en même temps toutes ces aires sur un plan, et toutes ces droites sur un axe perpendiculaire à ce plan, les projections linéaires auront entre elles les mêmes rapports que les projections superficielles.

339. Dès lors une autre conséquence bien remarquable se présente encore. C’est que les recherches relatives aux projections des aires planes peuvent se ramener à des recherches tout à fait semblables, dans lesquelles on substituera, aux aires et à leurs projections , des droites qui leur soient perpendiculaires et proportionnelles.

Ainsi, qu’on veuille connaître le plan sur lequel la somme des projections de plusieurs aires est un maximum ; je formerai une portion de polygone dont les côtés soient respectivement proportionnels et perpendiculaires à ces aires. La droite qui ferme le polygone, et que nous avons nommée la résultante, étant l’axe sur lequel la somme des projections des côtés du polygone est un maximum (528), on conclut que le plan perpendiculaire à cette ligne est celui sur lequel les projections superficielles ont une somme maximum. A quoi il faut ajouter que ce maximum a le même rapport avec chaque aire que la ligne résultante avec le côté perpendiculaire à cette aire. Cette remarque suffit pour déterminer la somme maximum des projections des aires, somme qu’on pourrait aussi appeler aire résultante.

Tout ce qui a été dit des projections linéaires se transporte sans aucune difficulté aux projections superficielles. Je me bornerai ici à énoncer la propriété qui est analogue à celle du n° 532, savoir : que, [tour projeter une aire plane sur un plan donné, on peut la projeta' d’abord sur trois plans rectangulaires, projeter ensuite les

38 h TROISIÈME PARTIE.

trois projections sur le plan donné, puis faire la somme des Irais nouvelles projections.

540. Le principe du n° 527 a aussi son analogue dans les polyèdres. On entend ici par polyèdre un assemblage de faces planes qui renferment entre elles un espace limité en tous sens, et le principe dont il s’agit s’énonce ainsi : Dans tout polyèdre, la somme des projections des différentes faces, sur un plan quelconque , est égale à zéro.

Cet énoncé exige évidemment que certaines projections soient prises négativement; et il faut d’abord expliquer comment les signes doivent être distribués.

Supposons que les projections de plusieurs faces consécutives soient (fig. 8) ABCD, ABEFG, AGHI,..., on peut prendre l’une d’elles avec le signe qu’on veut : convenons de donner à ABCD le signe -j-. Pour avoir celui de la projection ABEFG qui suit immédiatement, il faut observer si, à partir du côté AB par lequel elle touche la première, elle est en dehors d’elle ou en dedans; c’est le premier cas qui a lieu, et alors on lui donne aussi le signe +. La projection de la troisième face est AGHI : à partir du côté AG elle est eu recouvrement sur la précédente, et par cette raison elle aura un signe contraire. On continue ainsi de comparer la projection de chaque face à la projection qui la précède immédiatement, et avec laquelle elle a un côté commun ; et on l’affecte du même signe ou du signe contraire, suivant qu’elle s’applique au delà ou en deçà du côté commun.

Cette règle étant bien comprise, imaginons que les faces d’un polyèdre convexe, semblable à ceux de la géométrie élémentaire, soient projetées sur un plan quelconque. Il est facile de voir que chaque partie de l’espace qui renferme ces projections doit être considérée comme contenant deux projections égales et de signes opposés, de telle sorte que si on ajoute, avec les signes qui leur conviennent, les projections de toutes les faces, le résultat sera zéro. Quand le polyèdre a des angles rentrants, comme il doit être fermé de tous côtés, il faudra que chaque portion de l’aire couverte par les projections contienne un nombre pair de projections, égales deux à deux et de signes contraires; par conséquent la somme des projections de toutes les faces est encore zéro.

La figure 9 représente, pour les polygones, un cas analogue à celui dont je viens de parler. On y voit que la portion pq de l’axe

de projection OX est couverte par quatre projections, égales deux à deux, et de signes opposés, savoir : celles de ab, cd, et celles de ef, gh. Entin, l’esprit doit aller ici plus loin que le texte de l’explication et apercevoir clairement que, d’après la nature des polyèdres fermés, il arrivera toujours que la somme des projections des faces soit égale à zéro.

541. Désignons par A, A', A",... les faces successives d’un polyèdre fermé; menons une suite de droites consécutives L, L', L"... perpendiculaires et proportionnelles à ces faces, et ayons soin de les diriger de manière qu’elles comprennent entre elles les angles égaux aux inclinaisons des faces les unes sur les autres. Alors je dis que ces droites formeront un polygone fermé.

Supposons qu’il en soit autrement, et nommons X le côté qui ferme le polygone. Projetons tout le polygone sur un axe quelconque, et le polyèdre sur un plan perpendiculaire à cet axe; les faces A, A', A",... feront avec ce plan les mêmes angles que les droites proportionnelles L, L’, L",... avec l’axe : et comme la somme des projections superficielles des faces doit être nulle, celle des projections linéaires de ces droites sera aussi nulle. Mais, dans le polygone fermé par le côté X, la somme des projections linéaires de X, L, L', L",... est nulle (527); donc la projection de X est nulle. Cette conséquence a lieu quel que soit l’axe de projection, ce qui est impossible à moins qu’on n’ait X = 0; donc les lignes L, L', L",... déterminent un polygone fermé.

Cette proposition est importante : car elle montre que toutes les relations entre les côtés et les angles d’un polygone s’appliquent aussi aux polyèdres.

542. Considérons en particulier une pyramide triangulaire, dont je désignerai les faces par A, A', A", A"'; et soit ABCD (fig. 10) le quadrilatère correspondant, dont les côtés AB, BC, CD, DA, sont perpendiculaires et proportionnels à ces faces. Ces côtés ne peuvent pas être dans un même plan : car, si cela était, ce plan serait perpendiculaire à toutes les faces, et par conséquent à toutes les arêtes de la pyramide.

De là il suit qu’en achevant le parallélogramme ABCE, et en tirant les lignes BF, AG, EH, égales et parallèles à CD, on formera un parallélépipède ; par conséquent la formule [H] du n° 535 doit avoir lieu entre AB, AE, AG, AD, et les angles BAE, BAG, GAE. Ces angles sont suppléments de ABC, EGD, BCD ; et ceux-ci sont

égaux aux inclinaisons de A sur A', de A sur A", de A' sur A". Désignons doue ces inclinaisons par a, a’, a" ; on pourra remplacer, dans la formule citée, les angles par 180° — a, 180° — a', 180° — a", et les lignes par les aires A, A', A", A”, auxquelles les longueurs AB, AE, AG, AD, sont proportionnelles. De cette manière on obtient la formule

— 2A A' COS a — 2 AA" COS a'— 2A'A" COS a",

qui exprime la relation entre une face quelconque de la pyramide, les trois autres faces et les inclinaisons mutuelles de ces trois faces.