CHAPITRE II

Dü PLAN ET DE LA LIGNE DROITE DANS L’ESPACE.

Généralités préliminaires; comment on détermine dans l’espace les points, les surfaces et les lignes.

543. Pour déterminer la position des différents points de l’espace, on les rapporte à trois plans fixes qui forment un angle solide. Le plus souvent ces angles sont perpendiculaires entre eux, mais nous ne ferons d’abord aucune hypothèse particulière. Soient (fig. 1 1 ) xOx', yOÿ, zOz', les intersections de ces plans deux à deux, et M un point situé comme on voudra daus l’espace. Par ce point, et parallèlement aux trois plans fixes, on mène trois plans, savoir : MM'PM" parallèle au plan yOz, et qui coupe la ligne x'x en P ; MM'QM'" parallèle au plan xOz et qui coupe y' y en Q; et enfin parallèle au plan ocOy, et qui coupe z'z

en R. Le point M sera parfaitement déterminé quand on connaîtra les points P, Q, R; car en menant, par ces points, des plans parallèles aux plans fixes, ils iront se rencontrer au point M. Et, d’un autre côté, ces trois points P, Q, R, se déterminent eux-mêmes au moyen des distances OP, OQ, OR, qu’on affecte du signe -j- ou du signe — , selon leur situation à l’égard du point O.

Les distances OP, OQ, OR, prises avec les signes qui leur con-

viennent, se nomment les coordonnées du point M. Les droites x'x, ÿy, x'x, sont les lignes ou les axes de ces coordonnées; le point O où elles se rencontrent en est l’origine ; et les plans xO y, xOz, yOz, sont eux-mêmes appelés plans des coordonnées , ou simplement plans coordonnés. Souvent on désigne les coordonnées d’une manière générale par m, y, z: on dit alors que x'x est l’axe des x, que xOy est le plan de xy, etc. Les plans et les axes des coordonnées doivent être considérés comme indéfinis; mais, afin d’éviter la confusion, on ne représente ordinairement dans les figures que les portions des axes sur lesquelles sont comptées les coordonnées positives.

544. Les trois plans menés par le point M forment avec ceux des coordonnées un parallélépipède ; et de là il suit qu’on peut prendre indifféremment pour les coordonnées du point M, soit les distances OP, OQ, OR, qui sont situées sur les axes, soit les distances MM'", MM", MM', qui partent du point M et qui sont parallèles aux axes, soit encore les distances OP, PM', M'M, qui composent la ligne brisée OPM'M menée entre le point M et l’origine.

545. D’après ce qui précède, si on désigne par a, b, c, trois longueurs, positives ou négatives, et qu’on donne x — a, y— b, z—c, ces valeurs détermineront complètement la position d’un point.

Si l’une des coordonnées est nulle, le point est sur le plan des deux autres. Par exemple si on a x= a, y— b, z = o, il est dans le plan de xy. Lorsque deux coordonnées sont nulles, le point est sur l’axe de la troisième. Ainsi en prenant x= a, y = 0, z=0, il sera sur la ligne des x. Enfin , le point est situé à l’origine, si on a en même temps x = 0, y = 0, z == 0.

546. Les points M', M", M", où les lignes menées du point M, parallèlement aux axes, rencontrent les plans coordonnés, se nomment les projections de ce point; et ces projections sont dites orthogonales ou obliques, selon qu’elles sont faites par des perpendiculaires ou par des obliques.

Les coordonnées du point M étant a , b, c, il est évident qu’on a

x=a, y=b, z= 0, pour la proj. M' sur le plan de xy;

x—a, y— 0, z=c, pour la proj. M" sur le plan de xz;

x—0, y— b, z—c, pour la proj. M'" sur le plan de yz.

Quand on veut désigner l’une des projections, M', par exemple,

on se borne quelquefois à énoncer les deux égalités x=a, y — b', mais alors la troisième, z= 0, est sous-entendue , et on doit y avoir égard dans le raisonnement.

547. Maintenant il faut expliquer comment on détermine les surfaces. Considérons une surface quelconque, et supposons qu’on ait pris arbitrairement deux coordonnées, par exemple x = OP et y — PM' (fig. H) : en menant la droite M'M parallèle à l’axe Oz, elle ira rencontrer la surface en un point M , ou en plusieurs qui seront entièrement déterminés. Il suit de là qu’il doit exister entre x, y, z, une relation telle que, deux de ces lignes étant données, les valeurs de la troisième puissent s’en déduire. L’équation qui exprime cette relation se nomme F équation de la surface; et réciproquement la surface est le lieu de l’équation.

C’est ainsi qu’on est conduit à regarder une équation entre x , y, z, comme représentant une surface. Cette proposition peut d’ailleurs se démontrer comme il suit.

Soit F(x, y, z)= 0 l’équation dont il s’agit. Prenons (fig. 12) sur l’axe des z une distance quelconque 00' — c, et menons le plan dO’ÿ parallèle à zOy : il coupera les plans xOz et yO: suivant les droites O'z' et Oy, parallèles aux axes Oz et Oy. Parmi les points qui satisfont à l’équation donnée F(x, y , z)=0, ne considérons que ceux qui sont contenus dans le plan x'O’y’ , et soit M l’un quelconque de ces points. Si l’on mène MN parallèle à 0/ÿ, et qu’on fasse Ü'N =x' et NM= y', les coordonnées du point M, rapporté aux lignes O'x' et 0'î/ , seraient x' et ;/. Les trois coordonnées du même point M, rapporté aux trois axes Ox, Oy, Oz, sont

x = 0'N=x' y — MN = y', z = 00' = c.

Or ces quantités doivent vérifier l’éq. F(x, y, z) = 0; donc, si l’on effectue les substitutions, l’équation résultante F(x', y',c) = 0 ne contiendra que les deux variables a/ et y', et représentera une ligne rapportée aux axes Ox' et 0'y'. Ainsi, quel que soit le lieu de l’équation F(x, y, z) = 0 , ce lieu est coupé suivant des lignes par des plans parallèles au plan de xy. Cette propriété ne peut appartenir qu’à une surface ; donc une équation entre x, y, z, représente une surface.

Toutefois, comme il peut se faire que l’équation en x’ et ÿ ne représente qu’un ou plusieurs points, et même qu’elle soit impossible, il arrivera aussi, dans certains cas. que l’équation enx, y,z.

donnera une ligne seulement, un ou plusieurs points sépares, ou même encore qu’elle sera impossible.

548. Lorsque l’équation donnée ne renferme que deux des coordonnées, x et y, par exemple, elle représente un cylindre parallèle à Taxe des s. En effet, si on ne considère d’abord que les points du plan de xy, cette équation détermine en général , sur ce plan, une ligne AB (fig. 13). Si ensuite, par chaque point M de cette ligne, on mène une droite MM' parallèle aux z, il est clair que les valeurs de x et y seront , pour tous les points de cette droite , les mêmes que pour le point M. Il n’y aura de différence que dans la troisième coordonnée z ; et comme z n’entre pas dans l’équation donnée , il s’ensuit que tous les points de MM' satisfont également à cette équation, c’est-à-dire, en d’autres termes, que cette équation détermine un cylindre parallèle à l’axe des La dénomination de cylindre est prise ici dans le sens le plus étendu, et désigne toute surface engendrée par une droite qui se meut parallèlement à ellemême.

549. Quand une équation ne contient qu’une seule coordonnée , on en tire pour cette coordonnée des valeurs constantes , et chacune de ces valeurs , si elle est réelle, détermine un plan parallèle à celui des deux autres coordonnées. En effet , si s = c est une de ces valeurs, et si l’on mène , parallèlement au plan de xy, un plan qui rencontre l’axe des z à une distance c de l’origine, au-dessus ou au-dessous , suivant le signe de c, il est clair que pour tous les points de ce plan 3 est égal à c, et que pour les points situés hors de ce plan : est différent de c.

Il suit de là que les égalités x = a, y = b, z = c, prises séparément, représentent trois plans parallèles à ceux des coordonnées ; donc, étant prises ensemble , elles déterminent le point d’intersection des trois plans. Ce point est précisément celui qui a pour coordonnées», b, c; et, pour cette raison, on dit que x=a, y— b, z=c, sont les équations de ce point.

550. Enfin, parlons des lignes. La manière la plus simple de déterminer une ligne , dans l’espace , consiste à la considérer comme l’intersection de deux surfaces Ainsi , une droite sera donnée par l’intersection de deux plans; et un cercle le sera par celle d’une sphère et d’un plan, ou encore par celle de deux sphères. Les équations de deux surfaces, qui contiennent une ligne, se nomment, prises conjointement , les équations de celte lic/ne.

Comme il existe une infinité de surfaces différentes qui passent

par une même ligne , il y a aussi une infinité de surfaces qui peuvent, prises deux à deux, représenter cette ligne. On fait disparaître cette indétermination en choisissant , pour les deux surfaces , des cylindres parallèles à deux des axes de coordonnées. Si le premier cylindre est parallèle à la ligne des y, son équation ne contiendra point y (348), et si le second est parallèle à la ligne des x, son équation ne contiendra point x; par conséquent, en désignant par F(x, z) une fonction de x et de z sans y, et par F, (y, z) une fonction de y et de s sans x, on peut prendre , pour les équations d’une ligne quelconque ,

Soi. Soit AB (fig. 14) la ligne dont il s’agit. Si, par tous les points M , M'... de AB , on mène des parallèles à 0 y, les points m, m', ... , où elles rencontrent le plan xOz, sont les projections des points M. M' ... ; la ligne A'B', qui est le lieu de toutes ces projections, est la projection de la ligne AB; et le cylindre ABB'A' se nomme cylindre projetant. Il est évident que l’équation [1] doit être celle de ce cylindre ; et, en la restreignant aux seuls points du plan xO z, elle donne la projection A'B'. Pareillement, l’ équation [2], restreinte aux seuls points situés dans le plan yOz , pionne la projection de AB sur ce plan. On voit donc que les équations [I] et [2] peuvent aussi être considérées comme celles des projections d’une ligne sur les plans de xz et de yz.

Si l’on élimine z entre [1] et [2], on trouve une équation en x et y qui doit appartenir à la même ligne AB. Cette équation est celle d’un cylindre parallèle aux z; et en la restreignant aux seuls points du plan zOy, elle représentera la projection de AB sur ce plan.