En général , si les équations d’une ligne donnée sont

Ffo ,y> *) = 0 , F4(x, y, z) =0,

l’élimination d’une coordonnée, de y par exemple, conduit à une équation qui représente une surface cylindrique , parallèle à cette coordonnée ; et, comme cette surface doit contenir la ligne donnée, il s’ensuit que son équation, appliquée aux seuls points du plan .rz, détermine sur ce plan une ligne qui est précisément la projection de la ligne donnée.

Donc, si on élimine alternativement chaque coordonnée à son tour, on obtiendra la projection de la courbe sur les trois plans coordonnés.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 301 Équation du plan.

553. Je vais démontrer d'abord que l’équation du 1" degré, entre les coordonnées x, y, s, représente toujours un plan; et, à cet effet , je suivrai la marche déjà employée n° 547, pour prouver qu’une équation détermine une surface.

Soit l’équation générale

[A] Ax + By-f Cz + D = 0.

Je fais d’abord y = 0, et il vient Ax + C* + D = 0 ou

z— cx c*

Cette équation donne la trace AB (fig. 15) de la surface, sur le plan de xz ; donc cette trace est une ligne droite.

Je fais ensuite x = 0 : l’éq. [A] donne By -j- Cz -f- D = 0, ou

donc , sur le plan de yz , la surface a encore pour trace une droite AC , qui rencontre l’axe des z au même point A que l’autre trace.

Maintenant, menons à volonté un plan parallèle à celui de xz : supposons qu’il rencontre l’axe Oy à la distance OO7 = (3 , et les deux plans yOx , yOz , suivant les lignes OV, O 'z7, parallèles à Ox et à Oz. Soit M un point quelconque de l’intersection de ce plan avec la surface de l’éq. [Aj; rapportons ce point aux deux axes O'x7 et O'z', et désignons par x' et z7 ses coordonnées O'P et PM, comptées sur ces axes , tandis que nous continuerons de nommer x, y, z, ses trois coordonnées O'P, OO7, PM, relatives aux axes Ox, O y, Oz. Il est évident qu’on doit avoir x = x', y = 3, z = z': d’ailleurs ces valeurs doivent satisfaire à l’éq. [A]; donc on a Ax' -}- Bp -j- Cz’ -j- D = 0 , ou

Cette équation , entre x' et z7, est celle de l’intersection A'B7 de la surface par le plan z’O'x'; et comme elle est du 1" degré, il s’ensuit que cette intersection est une ligne droite. De plus, le coefficient de x' étant le même que celui de x dans l’équation de la trace AB, on conclut que A'B' fait avec O'z' le même angle que AB

avec O;. Or, le plan conduit par les deux traces AB et AC serait coupé par z'OY suivant une droite qui passerait au point A', et qui ferait aussi ce même angle avec O V; donc elle ne serait pas différente de A'B’. Ainsi la surface de Péq. [A] est rencontrée par tous les plans parallèles à zOx suivant des droites entièrement comprises dans le plan BAC; par conséquent, cette surface n’est autre que ce plan lui-même.

554. Cas particuliers. L’éq. [A] peut n’avoir point tous ses termes , et alors le plan qu’elle détermine prend une position particulière par rapport aux axes.

\° Soit D = 0; Péq. [A] devient

Ax -j- By — |— Gz 0.

Le plan passe par l’origine ; car celte équation est satisfaite par les valeurs x = 0, y — 0, z = 0.

2° Soit A = 0 : l’équation du plan se réduit à

By + Cz + D:=0.

Alors la trace du plan , sur le plan de xz , est parallèle à l’axe

des x ; car, en faisant y— 0, on trouve, pour cette trace, z — — ** .

Donc le plan est lui-même parallèle à l’axe des x : c’est-à-dire, en général, que l’équation du 1er degré, qui ne contient que deux coordonnées , représente un plan parallèle à l’axe de la 3e coordonnée.

3“ Dans le cas plus particulier encore, où l’on suppose en même temps À = 0 et B = ü, l’éq. [A] devient

Cz + D = 0.

Alors les traces AB et AC sont respectivement parallèles à Ox et O y, et le plan BAC est parallèle à xOy : conclusion d’ailleurs évidente, puisque l’équation donne, pour tous les points du plan, une

valeur constante de z, savoir z — — Il résulte de là que l’équa-

tion du 1er degré, qui ne contient qu’une coordonnée, représente un plan parallèle à celui des deux autres coordonnées.

555. Il ne suffit pas d’avoir reconnu que l’équation du 1er degré représente toujours un plan, il faut encore démontrer qu’elle peut donner tous les plans possibles.

D’abord, quand l’équation contient la variable z, on a trouvé pour les traces du plan , sur les plans de x: et de yz ,

et z

Ces deux traces coupent l’axe des z à la distance — - , et en fai-

sant varier D on peut faire passer ces traces par tel point de l’axe des z qu’on voudra. Si ensuite on fait varier A et B, on pourra aussi faire prendre à ces traces telles directions qu’on voudra ; donc l’éq. [A] peut donner tous les plans qui rencontrent la ligne des z.

En second lieu, si C est zéro, l’éq. [AJ devient Ax-J-By-J-D=0. Alors elle représente un plan qui est parallèle aux z , et dont la trace, sur le plan de xy, a aussi pour équation Ax By -J- D = 0. Or, cette équation peut donner toutes les droites qu’il est possible de tracer dans le plan de xy, donc aussi l’éq. [A] peut représenter tous les plans parallèles aux z.

Donc , enfin , il n’est aucun plan qui ne soit donné par une équation du 1er degré.

536. L’équation du plan est employée sous diverses formes. Remarquons d’abord que l’éq. [A] pouvant toujours être divisée par le coefficient de l’un de ses termes, il n’y a réellement que trois indéterminées dont on puisse disposer pour assujettir le plan à des conditions données. Par exemple, si l'équation contient z, on peut la diviser par C, et l’écrire ainsi :

z = fx + gy + h.

Mais cette forme ne convient plus aux plans qui sont parallèles à l’axe des z ; et , pour cette raison , on préfère souvent se servir de l’éq. [A], qui a d’ailleurs l'avantage de conduire à des formules plus symétriques.

557. Lorsqu’un plan rencontre les trois axes, son équation prend une forme très-élégante si on y introduit les distances OA , OB, OC (fig. 16), de l’origine aux trois points d’intersection. Ces distances se déduisent de l’éq. [AJ. Par exemple, pour l’intersection avec l’axe des x, on a y== 0, z = 0, et par suite l’éq. [A]

donne OA = — On trouve de même OB = — ^ , OC = —

A D ti

39i TROISIÈME PARTIE.

donc, si on désigne ces trois distances par a, b, c, on aura

En mettant ces valeurs dans l’éqnation [A] et divisant D, il vient

ou bcx -f- acy + abx — abc.

558. Un plan est déterminé quand on connaît la grandeur et la position de la perpendiculaire OH (flg. 16) abaissée de l’origine sur ce plan. Soit OH = 8, HO#=a, HOy = (3, HOz=y : les triangles rectangles HOA, HOB, HOC, donneront

OA=a =

cos a'

cos

OC= c= ;

cosy

et, en substituant ces valeurs de a, b, c, l’équation du plan prend encore cette forme, qui mérite d’être remarquée ,

x cos* -(- y cos ^ -f z cos-f = 8.

On peut aussi y parvenir immédiatement en se servant de cette propriété, que la somme des projections orthogonales de plusieurs droites consécutives, sur un axe quelconque, est égale à la projection de la résultante (526). Supposons que le point M, pris à volonté dans le plan ABC, ait pour coordonnées OQ=ar, QP = y,PM = z, et tirons OM, qui est la résultante du contour OQPM. La droite OH étant perpendiculaire au plan ABC, si on projette OM sur OH, on trouve pour projection la ligne OH elle-même, laquelle est désignée par 8. D’un autre côté, en projetant x, y, z, sur OH, on a x cos a -f- y cos p -f- z cosy pour la somme des trois projections ; donc, en vertu du principe cité, on aura

x cos a -(-y cos p + z cosy = 8;

et comme cette relation a lieu pour tous les points du plan, elle est l’équation de ce plan.

Équations de la ligne droite.

559. D’après ce qui a été dit n° 550, on pourrait prendre, pour les équations d’une droite donnée, celles de deux plans qui la

contiennent -, mais il est plus simple de la déterminer par ses projections sur deux des trois plans coordonnés. Si, par tous les points de cette droite, on mène des parallèles à l’axe des y (fig. 17), elles seront dans un même plan, et leurs pieds, sur le plan zx, seront en ligne droite. C’est cette ligne droite qui est la projection, sur le plan zx, de la droite dont il s’agit. Sa projection sur le plan y z est aussi une ligne droite: donc, si on veut déterminer une droite par ces deux projections, on pourra présenter ses équations sous la forme

[1] x — az -)- a, y = bz -f- (5.

Quand les coordonnées sont rectangulaires, a et b sont les tangentes des angles formés avec l’axe des z par les deux projections ; mais, en général, ces coeflicients sont des rapports de sinus.

5G0. Il n’est pas inutile de rappeler ici que ces équations, considérées chacune séparément avec toute sa généralité, ne représentent pas seulement les projections de la droite, mais deux plans respectivement parallèles aux y et aux x. Ils sont les plans projetants de la droite; et c’est parce qu’ils contiennent cette droite, que le système des éq. [1] la détermine. Il est évident d’ailleurs qu’il ne détermine qu’elle ; car tous les points communs aux deux plans appartiennent à la droite.