PROBLÈMES SUR LE PLAN ET LA LIGNE DROITE
, Première partie : Problèmes dont la solution est indépendante du choix des axes.
564. Pboblèmb I. Trouver les équations d’une droite qui passe par deux [joints opposés.
Soient x', ÿ, z*, et x", y", 3", les coordonnées de deux points. Les équations demandées doivent être de la forme
x=az- j-a, t/=èz+p.
Pour que la droite passe par le premier point, il faut que ces équa-
tions soient satisfaites en y mettant x', y', z', au lieu de x, y, z ; donc on doit avoir
x'=.az! -\-a, y'=bz'- |-j3.
En retranchant ces équations des deux précédentes , a et {3 seront éliminés, et on aura
La droite représentée par ces équations remplit déjà la condition de passer par le premier point. Pour qu’elle passe aussi par le second , il faut que ces équations soient vérifiées en y remplaçant x, y, z , par x ", y", z", ce qui donne
d’où
En substituant, au lieu de a et de b, ces valeurs, on obtient les équations cherchées, savoir :
565. Problème II. Trouver les équations d’une droite qui passe par un point donné , et qui est parallèle à une droite donnée.
Soient les équations de la droite donnée ,
x=flz + «, y = bz- fP;
et soient x', y'z', les coordonnées du point donné. Puisque la droite cherchée doit passer par ce point, ses équations peuvent se mettre sous la forme
x — x'—a'[z — *), y — i/ = bl[z — z') , a' et b' étant encore inconnus.
Quand deux droites sont parallèles, les plans menés par ces droites, parallèlement à l'axe des y, sont parallèles entre eux, et par suite leurs intersections avec le plan de xz sont aussi parallèles. Or, ces intersections sont les projections des deux droites sur le plan de xz; donc les coefficients de z doivent être égaux dans les équations de ces deux projections. Il en est de même des projections sur le plan de yz ; donc, pour que les droites soient parallèles , on doit avoir les conditions
Par conséquent, les équations de la parallèle demandée seront
Si le point donné est à l’origine, elles se réduisent à celles-ci : x — az, y — bz.
566. Problème III. Déterminer le point d’intersection de deux droites dont on connaît les équations.
En général , deux lignes dans l’espace ne se rencontrent pas : il faut, pour que cela arrive, qu’il y ait des valeurs de x, y , z, qui satisfassent à leurs quatre équations. Or, il est évident qu’en éliminant les trois coordonnées x, y, z, entre les quatre équations, il restera une équation qui exprimera la condition sans laquelle les deux lignes ne peuvent avoir aucun point commun.
Soient
[IJ ar = az + o’> [3] x = a'z-{-a'\
[2] y=bz- 1-pj’ [4] y = è'z + pT
les équations de deux droites. De [1] et [3] on tire
et de [2] et [4] on tire
aa •
Pour que les quatre équations soient vérifiées par les mêmes coordonnées , il faut que les deux valeurs trouvées pour z soient égales ; et il est clair que cette condition suffit. Ainsi, on doit avoir
7 = t — t,, ou bien
Telle est la relation qui doit exister pour que les deux droites se coupent. Quand elle a lieu, le point d’intersection est déterminé par les formules [5] et [6].
Lorsque les droites sont parallèles, on a a! =■ a et b'=b (565). Alors l’équation de condition est vérifiée, et les valeurs de x, y, z, sont infinies.
567. Problème IV. Faire passer un plan par trois points donnés.
Représentons par x', ÿ, z! -, x", y", z"; x"', y'", z"; les coordonnées des trois points : et soit [I] Ax + By+Cz = D
l’équation du plan cherché. Pour que ce plan passe par les trois points, il faut que son équation soit satisfaite par les coordonnées de chacun d’eux ; donc on doit avoir
Ax'+By'+Cz^D, Ax"+By"-f Cz"=D, Ax'"+By"'+Cz"'=D.
En divisant ces équations par D, les inconnues qu’elles contiendront seront les rapports de A, B, C, à D; et elles feront connaître les valeurs de ces rapports. Désignons ces valeurs par A', B1, C', on aura
et par suite l’éq. [1] devient, après substitution et simplification, A'x + B' y -{- C'z = 1 .
568. Problème V. Par un point donné, mener «n plan parallèle à un plan donné .
Soit [1] Ax + Bÿ + C; + D = 0
l’équation d’un plan donné; et [2] A'x + B'y + G'z + D' = 0,
celle d’un plan parallèle.
En général, les intersections de deux plans parallèles par un troisième sont parallèles entre elles; par conséquent les traces des deux plans sur le plan de xz doivent être parallèles, et leurs traces sur le plan de yz doivent aussi être parallèles.
Les équations des traces sur le plan de xz sont
Ax-fCz-f D=0, A'x + C'z + D' = 0;
Les équations des traces sur le plan de yz sont
By + Cz + D=0, B'y + C'z + D' = 0.
Pour que les deux premières soient parallèles entre elles , et aussi les deux dernières parallèles entre elles, on doit avoir
C’ C = C- oubleD A
Quand les plans rencontrent l’axe des z, ces conditions suffisent pour qu’ils soient parallèles; car alors les traces du premier plan se coupent sur l’axe des z, et sont parallèles à celles du second plan, lesquelles se coupent aussi sur cet axe. Or, quand deux angles ont leurs côtés parallèles, on sait que leurs plans sont parallèles.
Mais si les deux plans sont parallèles à l’axe des z, ce qui revient
à supposer C = 0 et C' = 0, la seule condition à remplir, c’est que les traces sur le plan de xy soient parallèles, ce qui exige
Ainsi, dans tous les cas, pour que deux plans soient parallèles, il faut et il suffit que les coefficients des variables x, y, z, dans les équations de ces plans, soient proportionnels.
Supposons ces conditions remplies, et faisons A' = kk : on aura aussi B' = B A-, G' = CA ; puis, en mettant ces valeurs dans l’éq. [2], divisant par k , et posant D"fc = D', il vient
Ax + B^ + Cz + D" = 0.
Cette équation représente tous les plans parallèles à celui de l’éq. [1], et elle ne diffère de celle-ci que par le seul terme constant D''.
Jusqu’ici D" est resté indéterminé; mais si on veut que le plan parallèle passe par un point donné dont les coordonnées soient x' , y', z', on doit avoir
Ax' + By, + Cz’ + D" = 0;
et, en retranchant cette équation de la précédente, on a, pour le plan cherché,
A(x — Xf) + B(ÿ — : x/) -j- C (s — z') = 0.
Si le point donné est l’origine, il faut faire x'— 0, y'=0, z' = 0, et l’on a, pour le plan parallèle,
Ax + By + Cz = 0.
r>69. Problème. VI. Faire passer un plan par un point et par une droite donnés.
Soient x’, ÿ, z', les coordonnées du point; supposons que les équations de la droite donnée soient
[1] x = az + a, y = bz + p, et que celle du plan cherché soit
[2] Ax4-Bÿ + Gz + D=0.
La condition de passer par le point donné est exprimée par
[3] Ax' + By' + Cz'-|-D = 0.
Celle de contenir la droite exige qu’en mettant dans l’équation du plan les valeurs de x et de y, tirées des équations de cette droite, l’équation résultante soit vérifiée, quelle que soit la coordonnée z.
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. hO\
Or, par la substitution de ces valeurs, il vient
(A« + Bi + C)z + Aa+B? + D = 0; et, pour que cette égalité ait lieu sans aucune détermination particulière de z, il faut poser
[4] Aa + B6 + C = 0,
[5] Aa + Bp + D = 0.
Toutes les conditions du problème sont donc renfermées dans les équations [3], [4], [5].
En éliminant D entre [3] et [S], il vient
A (x' — *) + B (y' — P) -f- Cz' = 0; et en combinant cette équation avec [4] , on trouve facilement (y'6z'-P)C D {at-aï- «)C
b(x'-*)-a(y'-iï
Mais l’éq. [2], si on en retranche l’éq. [3], devient A(x — æ') + B(y — ÿ') + C(z — z') = 0;
et, en y substituant les valeurs de A et B, on obtient, toutes réductions faites, l’équation du plan cherché, savoir :
[6] [ÿ — bz' — p](x — af) — [x' — aï — a] \y — t/) 1
570. On peut encore faire les calculs d’une autre manière. Au moyen des éq. [4] et [5], on peut éliminer de l’équation du plan deux des quantités A, B, G, D. Si, après avoir multiplié l’éq. [4] par z, on la retranche de celle du plan ainsi que l’éq. [51, on éliminera G et D ; on trouve ainsi
A(x — az — a) -j- B (y — bz — p) = 0.
Comme on n’a eu égard qu’aux relations [4] et [5], cette équation appartient à un plan quelconque passant par la droite donnée.
Pour qu’il passe aussi par le point donné, il faut que cette équation se vérifie en y mettant x’, ÿ, z', à la place de x, y, z-, donc on doit avoir A (x' — as' — a) -)- B (y' — bz' — p) = 0, d’où B x' — az' —
bz'—$’
et par suite il vient, pour le plan demandé
r„, x'—az!— a
(y— bz— P).
Cette équation ne diffère de l’éq. [6] que par la forme. On y voit sur-le-champ qu’elle représente ün plan qui passe par la droite donnée : car elle est évidemment vérifiée en même temps que les équations [i].
571. Problème Vil. Deux droites étant données, mener un plan qui passe par la première et qui soit parallèle à la seconde .
Supposons que, pour les deux droites données, les équations soient
!x = az-\-a , 1 x = a'z + *',
ÿ=ôz+p, {y = 6'z + P';
et que celle du plan cherché soit
Ax -f- By Cz -f- D = 0.
Pour que le plan et la seconde droite soient parallèles, il faut qu’en les transportant à l’origine, parallèlement à eux-mêmes, la droite vienne se placer tout entière dans le plan. Alors les équations sont
[I ] x=a'z, y = b' z, pour la droite (865),
[2] Ax-(-By-(-Cz=0, pour le plan (568);
et en mettant les valeurs [1] dans l’éq. [2], et supprimant le facteur commun z qui doit rester indéterminé, il vient
telle est la condition du parallélisme.
Pour que le plan contienne la première droite, on sait déjà (569) qu’on doit avoir
[4] Aa + B6 + C = 0;
[5] Aa + B? + D=0.
L’éq. [4], qui est semblable à l’éq. [3], exprime que le plan est
parallèle à la première droite. L’éq. [5] exprime que le plan passe
par le point où cette droite perce le plan dexy : car, pour ce point,
on a z == 0, x = a, y— p.
Les éq. [3] et [4] donnent
A (a'— a) A [ab'—bct)
En substituant ces valeurs dans l’équation du plan, et faisant
— - ■ - = D , on trouve
(b' — b)x — (a'— a) y — [ab' — ha')z -{- D' = 0,
D' étant une indéterminée. Comme on n’a eu égard qu’aux conditions [3] et [4], cette équation représente tous les plans parallèles aux deux droites données. De plus, comme les coefficients de x, y, z ne contiennent pas D', ils doivent rester constants; *donc tous ces plans sont parallèles entre eux (558), ainsi qu’on devait le prévoir.
Mais, si on commence par éliminer D en retranchant l’éq. [5] de celle du plan, il vient
A(x — a) -f- B (y — P)-f- Cz = 0; et, si on remplace ensuite B et C par leurs valeurs, on obtient {b' — b) ( x — a) — [d — ■ a) [y — fi) — ( ab ' — bd) z — 0.
pour le plan qui remplit toutes les conditions de la question.
572. Problème VIH. Connaissant les équations de deux plans , trouver les projections de leur intersection.
11 résulte des considérations générales exposées n° 542, qu’on obtiendra les équations de ces projections en éliminant alternativement x, y, z, entre les équations des deux plans. Supposons que les équations des plans soient
Ax +B y + Cz +D =0,
A'x + B'y + C'z-fD'=0.
Pour les trois projections de leur intersection, on trouvera (AC'— CA')x + (BC'— CB')y-f DC'— CD' = 0,
(BA'— AB') y + (CA'— AC') s + DA'— AD'= 0,
(CB'— BC') z + (AB'— BA')x + DB'— BD'= 0.
573. Problème IX. Trouver l’intersection d’une droite et d’un pion, dont on connaît les équations.
La question se x'éduit à trouver les valeurs de x, y, z, qui satisfont aux équations de la droite et du plan, ce qui revient à résoudre trois équations du premier degré. Supposons qu’on ait les équations
Ax-f- By -f- Cz-(- D = 0 pour le pian.
En éliminant x et y, on en déduit sur-le-champ
(A<* -f Bft + C)z -f Aa -f Bp -J- D =
et par suite, on a les coordonnées du point d’intersection, savoir :
Aa + Bp + D 2~ Aa+Bp + C’
«(Aa+Bp+D)
Aa + BA + C *
A(A« + Bp+P)
•V — p Aa + BA+C ‘
Si on a Aa + BA + G = 0 , ces valeurs sont infinies : alors la droite est parallèle au plan (571). Si on a en même temps A« -f- Bp + D = 0, ces valeurs deviennent indéterminées : c’est ce qui doit en effet arriver, car alors la droite est tout entière dans le plan (569).
Deuxième partie : Problèmes dont la solution est plus simple avec des axes rectangulaires.
574. Problème X. Connaissant les coordonnées de deux points, trouver la longueur de la droite qui joint ces deux points.
Soient x, y, z, et x', ÿ, z', les cordonnées des deux points M et M' (fig. 18) : il s’agit de trouver la distance MM'. Par chacun de ces points, menons trois plans parallèle à ceux des coordonnées : on forme ainsi un parallélépipède. Désignons la diagonale MM' par 3, et les côtés contigus M'F, M'G, M'H, par f, g, h: ces côtés sont les différences des coordonnées des points M et M', c’est-à-dire que f—x — x', g = y — y',h = z—2'.
Cela posé, si les coordonnées sont rectangles, le parallélépipède l’est aussi, et alors le carré de la diagonale 8 est égal à la somme des carrés des trois côtés f, g, h; donc
Quand le point M' est à l’origine, il faut faire x'—O, y' — O; z'=0; et on a simplement
575. Si les coordonnées sont obliques, l’expression de 8 est plus compliquée. Dans ce cas, en appelant a, p, y, les angles des axes, le n° 535 donne la formule
8* = /* -f- ÿ* + A* -f- Hfg cos a 2 pi cos p -j- 2 gh côs y.
Il n’y a donc plus qu’à remplacer f, g , h, par leurs valeurs, et il
viendra
8» = (x— x'f + (y — ÿ)* -f (z — z')’ + %x —d) [y— y') cos a
+ 2(x — x') ( z — z') cos p + 2(y — y') (z — z') co s y . (*)
576. Problème XI. D’un point donné abaisser une perpendiculaire sur un plan, et trouver ensuite le pied et la grandeur de la perpendiculaire.
Pour avoir des résultats plus simples, je supposerai, dans ce problème et les suivants, que les axes sont rectangulaires.
Il faut d’abord chercher quelles relations ont entre eux les coefficients qui entrent dans les équations d’une droite et d’un plan, quand la droite est perpendiculaire au plan. Supposons que, dans le plan de xz (fig. 19), AC soit la trace d’un plan ACB, et QN la projection d’une droite MQ perpendiculaire à ce plan. MQ étant perpendiculaire au plan ACB, le plan MQN est aussi perpendiculaire à ACB; et d’ailleurs, par la nature des projections, le plan MQN est perpendiculaire au plan xOz. Réciproquement, les plans ACB, xO z, et par suite leur intersection AC, doivent être perpendiculaires au plan MQN; donc AC est perpendiculaire sur la ligne NQ, située dans le plan MQN. Donc, en général, les projections de la perpendiculaire sont perpendiculaires aux traces du plan.
Cela posé, représentons par d, y' ,-z', les coordonnées du point donné, et le plan par l’équation
[ 1 j Ax -j- By -|- C z -j- D 0.
(“} Voici encore une démonstration très-simple de cette formule. Nommons £', £', S", les trois diagonales M'M, FK, 1H. La figure M'FMK est un parallélogramme; par conséquent, la somme des carrés de ses deux diagonales £ et £' est égale à la somme- des carrés des quatre côtés : c'est-à-dire que £' + £'«=: 2M'F*-|-2M'K*. Or, M'F —f, et le triangle GM'K donne M'K^g'+A1-)- 2gftcosv; donc
[a] £• + 4’*= 2g* +■ 2h* + igheosy.
Le parallélogramme M'IMH donne aussi £* + ô’'1 = 2M'ir -f 2MT. En remplaçant M'H par h, et Mi par sa valeur f* + g3 + 2/gcoso, tirée du triangle M'Fl, on a
|6] 8* + 6''*=2/3 + 2gî-t-2h»-Hgcosa.
Pareillement, le parallélogramme F1KH, dans lequel Fl = g, et FH — f* + h* — 2fh cos j3, donne
lYl S'* + £"* = 2P+ 2g* + 2h* — ifh cos p.
Maintenant, en ajoutant les égalités [a; et {6], puis retranchant fie leur somme l’égalité (y), on arrive facilement à la formule dont il s’agit,
Les équations de la perpendiculaire demandée seront de la forme [2] x— x' = a[z — z'), (y — y') = b[z — z1),
a et b étant deux inconnues. Les traces du plan donné , sur les plans de xz et de yz, ont pour équations
Mais on vient de démontrer que ces traces doivent être perpendiculaires aux projections de la droite cherchée; donc on a
— |xa + l = 0, — gX6-H=0.
De là on tire
[3] a = — , b = ~, ou A = aC, B = bC.
Ci Ci
En mettant les valeurs de a et b dans les équations [2], il vient, pour la perpendiculaire, les équations
Pour avoir les coordonnées du pied de cette i»erpendiculaire , il suffit de résoudre les éq. [1 ]. et [4] par rapport à x, y, z; et ensuite, pour connaître la grandeur de la perpendiculaire, il faudra substituer les valeurs de ces coordonnées dans la formule
Mais il sera plus simple de chercher immédiatement les différences x — x', y — y', z — z\ A cet effet, on écrit d’abord l’éq. [1] sous la forme
A(x - x1) + B(y - y) + G(z - zO + A* + By' + Cz' + D = 0, ou mieux encore, en faisant Ax'-j-By'+Cz'-|-D=D', sous celle-ci : A (x - x') + B (y - y') + C (z - z') + D' = 0.
On substitue dans cette équation , au lieu de x — x' et de y — »/, les valeurs |4], et l’on a une équation qui fait connaître z — z'. On calcule ensuite x — x' et y — y1. De cette manière, on trouve
