J —AD' , —BD' —CD
X A’+B’+C5’ -y î/“A,-fB,+C!’ “ -A*+B*+C*-
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 407 Par suite la formule [a] donnera, pour la perpendiculaire P, P — Ax' + Ity + Ca' + D
— v/A’ + lP -fC* ~ y/ A1 + B* + C*
Comme la valeur de P doit être essentiellement positive, il faut toujours prendre le numérateur, abstraction faite de son signe.
Si le point donné est placé à l’origine, il faut faire ^=0, ?/=0, = 0. Alors on a
Si le point qst dans le plan donné , ses coordonnées ,r\ y', z', doivent satisfaire à l’équation de ce plan ; donc kx' By* + Cz' -f-
D = 0, et par conséquent P = 0, ainsi que cela doit être.
577. Problème XII. Mener par un point donné un plan perpendiculaire à une droite donnée.
Supposons que les coordonnées du point donné soient x\ y , z, et que les équations de la droite donnée soient
[1] x = az -j- *> y — bz -f- (5.
Puisque le plan cherché doit passer par le point donné, son équation sera de la forme A (x — x') -|- B {y — if) -f C(z — z1) — 0 ; et puisqu’il doit être perpendiculaire à la droite, on doit avoir A=aC, B = 4C (576). Par suite, l’équation de ce plan est
Si on tire des éq. [1] et [2) les valeurs de x, y, z, on aura les coordonnées du point d’intersection de la droite avec le plan. En posant, pour abréger,
a[tf — a) 4
on trouve
z = n, a; = an-f-a, y=zbn- {- p.
578. Pboblème XIII. Mener par un point donné une jxrpend iculaire à une droite donnée , et déterminer ensuite le pied et la grandeur de cette perpendiculaire.
Si on conduit par le point donné deux plans, l’un perpendiculaire à la droite donnée, et l’autre passant par cette droite, ils contiendront tous deux la perpendiculaire demandée; donc les équations de ces plans, prises ensemble, peuvent être considérées comme celles de la perpendiculaire elle-même.
D’après les n** 577 et 569, ces équations sont
[1] a(ar — ï) + b[y — ÿ + z — z' = 0,
[*] [ÿ—bz' — ^\{x — x') — \x, — a7! — <x\[y — y,)\
Les coordonnées du pied de la perpendiculaire ne sont autre chose que les valeurs trouvées dans le problème précédent : z = n, ar = on + “) y = 6n-J-|î.
Par suite , la grandeur de la perpendiculaire sera
p=J(x’ — a — an)i- 1- (y' — $ — bn)1 + (z' — n)\
La quantité qui est sous le radical peut s’écrire ainsi : (^)»+(y p)*+^2[a(x'-a)+4(,y'-p)+z']n+(a*+4*+l)«*.
Mais, d’après la valeur de n, la partie de cette expression, qui contient les doubles produits, est égale — 2 [a1 -J- 4* + l)n’> donc
p = \Jx' — a)* -f (y'— P)* + z'* — (a’ + 6* + l)»1*
Si on veut connaître les projections de la perpendiculaire , on peut les déduire facilement des éq. [1] et [2]. Mais on les trouve aussi en observant qu’on connaît deux points de cette ligne, savoir : le point donné et le pied de la perpendiculaire, lesquels ont respectivement pour coordonnées x', y', z', et n, an -(- a, bn -f- p. Par suite les équations des projections cherchées seront
•3 — bn
379. Problème XIV. Connaissant les équations de deux droites , on veut trouver : 1° les équations de la droite sur laquelle se mesure leur plus courte distance; 2° l’expression de cette plus courte distance.
Soient (fig. 20) AB, CD, les deux droites données, et PQ leur plus courte distance. D’abord la ligne PQ est droite : autrement , la droite qui joindrait les points P et Q serait plus courte. Ensuite, la ligne PQ est perpendiculaire à AB et à CD : car si , par exemple, elle ne l’était point à CD, la perpendiculaire, abaissée du point P sur CD, serait plus courte que PQ.
Puisque PQ est perpendiculaire à AB et à CD, il s’ensuit que si, par la droite AB, on mène un plan UV parallèle CD, la ligne PQ sera perpendiculaire à ce plan ; donc elle est située dans les deux plans A BR et CDS perpendiculaires à UV, conduits, l’un suivant
AB, et l’autre suivant CD. La ligne PQ est donc l’intersection de ces plans, et ses équations sont celles de ces plans eux-mêmes.
Quant à la grandeur de PQ , elle est égale à la perpendiculaire abaissée d’un point quelconque de la droite CD sur le plan UV. Ainsi, la marche à suivre dans les calculs est entièrement tracée. Soient
x = oz + a, rx = a's + a',
y = èz + p, (y = é's + P
les équations des deux droites données. Elles percent le plan de x y en des points que je désignerai par T et T', et dont les • coordonnées sont
z = 0, x = a, t/ = p, pour le point T ; s = 0, x = a, y — p', pour le point T'. Cherchons d’abord l’équation du plan qui contient la première droite, et qui est parallèle à la seconde. Ce plan devant passer par le point T, son équation peut s’écrire ainsi :
A et B étant seuls inconnus. Pour que ce plan contienne la première droite, il faut que les valeurs [1] de x et de y satisfassent à l’éq. [3], quelle que soit la coordonnée z, ce qui donne la condition
Aa + B4-H =0.
Et, pour qu’il soit parallèle à la seconde, il finit poser (571)
Aa'-f B6'+l = 0.
Ces deux relations déterminent A et B : on trouve
ab‘ — ba' ab' — ba
Maintenant il faut mener, par les droites données, des plans qui soient perpendiculaires à celui de l’éq. [3]; et, pour cela, il faut que chacun d’eux contienne une perpendiculaire à ce dernier plan. Les équations des deux perpendiculaires à ce plan, menées par les points T et T', sont (576)
x=Az-J-a, ÿ = Bz-(-j3, pour la 1”, x = A; -f- a', y = Bz + ji', pour la 2e.
L’équation d’un plan qui passe par la lr* droite donnée et par la trt perpendiculaire, est de la forme I A] A'[x — a) -|- B' (y — p)-f- z = 0;
et on a, pour déterminer A' et B', les deux équations
[4] AA' + BB'-f 1 = 0, aA'-f 6B’ + 1 = 0.
Semblablement, l’équation du plan qui passe par la 2* droite donnée et par la 2e perpendiculaire, est de la forme [A'1 A" (x -a) + B "(y -}) + := 0,
et on a, entre A" et B", les deux équations
[5] AA"+ BB" +1=0, a'A" + 6'B"+ 1 = O.
Des éq. [4] et [5], tirons A' et B', A" et B"; et remplaçons ensuite A et B par leurs valeurs. Il vient
a — «'+ b(ab’ — bd) b — b' — a(ab' — bu')
”«(a'— «) + ft(6'— 4)’ ~ a[d—a) + b{b’— b)’
a — û'+ b'(ab'— ba') b — b'— a'(ab‘— ba')
Mettons ces valeurs dans [A] et {A'1, on aura les équations de la droite cherchée, sur laquelle se mesure la plus courte distance. On trouve ainsi
[«— a'+ b{ab‘— ba')] (x— a) + \b—b'—a[ab'—ba')} y — p)
\a — a'+ b'(ab‘ — bd)\ (x — a') + [b — b ' — a' (a b' — ba')) [y — 3')
Remarquons, en passant, que la seconde équation aurait pu se déduire de la première en changeant a, b, a, p en a', b', a', et d, b' en a et b.
Il ne reste donc plus qu’à trouver la grandeur de la plus courte distance. D’après ce qui a été expliqué plus haut, il faut abaisser, d’un point de la seconde droite, une perpendiculaire sur le plan de l’éq. [3]. Pour plus de simplicité, on l’abaisse du point T' pour lequel on a z = 0, x = d, y — ff : alors la formule générale qui exprime la distance d’un point à un plan (576) donne p^A(«'— a) + B(p'— j+
et en y mettant les valeurs de A et B, il vient
\J{a' — a)*+ (b'-by+iab’—bd/
Telle est l’expression de la plus courte distance des deux droites.
Lorsque deux droites se rencontrent, la portion comprise entre ces deux lignes, sur la perpendiculaire commune, est égale à zéro ; donc on a
. («'—<*) (A — A') — (pf— p) (« — <0 = 0,
équation déjà trouvée (566), pour exprimer que deux droites se coupent.
580. Problème XV. Connaissant les équations d’une droite , déterminer les angles de celte droite avec les axes des coordonnées.
Par l’origine (fig. 21), menez la ligne OM parallèle à la droite donnée : il s’agit de déterminer les angles MOx, MOy, MOz, que je désignerai par a, p, q.
Prenez OM = 1 , et abaissez sur les axes les perpendiculaires MP, MQ, MR : les distances OP, OQ, OR, prises avec les signes qui leur conviennent, seront en même temps les coordonnées du point M et les cosinus des angles a, p, q. Soient
x = az, y = bz,
les équations de la parallèle OM ; et soient x', >/, z', les coordonnées du point M. Puisque le point M est sur celte ligne, et que OM est égale à 1, on a
x'=ad, ÿ=bd, x'* + y'* -(- z'*= 1 ; et ces équations feront connaître les valeurs de x', y1, z‘, ou de cos a, cos?, cos-f. Ainsi s’obtiennent les formules
cosa — ■■ ■ —, cos? — — cos f = — — — .
yV-|- A!-j- 1 1 V^a*+As-f-l
La parallèle OM et son prolongement OM' font avec les axes des angles différents ; mais, comme nous avons pris la valeur de d positivement, il en résulte que ces formules donnent les angles qui sont formés, du côté des coordonnées positives, par la portion de la parallèle qui est située, relativement au plan de xy, du même côté que les z positifs.
581 . Problème XVI. Trouver l’angle de deux droites dont on connaît les équations.
Si, par l’origine , on mène des parallèles aux deux droites, l’angle compris entre ces parallèles est égal à l’angle cherché. Soient (fig. 22) OM et OM' ces deux parallèles, et soient
x = az, y = bz, les éq. de la 1";
x—ciz , y = b'z , les éq. de la 2e.
Prenons, du côté des z positifs, OM = OM'=l; et faisons l’angle inconnu MOM'= V. Le triangle MOM' donne
