COS Y

20MX0M' 2 *

En désignant par x', y , z', les coordonnées du point M, et par x" , y", z", celles du point M', on a

MM5’ == (z' — x")1 + (y” — y")* + (2'— z")K

Développons les carrés, observons que x'* -(- ÿs -f- z'* = 1 , et que x"' 4- y"' + Z"* = 1 ; on trouve MM'2 = 2 — 2 (x’x" + y’y" + z’z"), et par suite

cos V = x'x" + y' y" + 2,2".

Maintenant il est facile d’obtenir x ?/, 2', x", y", 2". En effet, à cause que le point M est sur la première parallèle, et que OM est égale à 1 , on a x1 = az', y' — bz', a;'1 -j- y” + 2'* = i ; et de là on tire

v/a’+ô’+l ’ \ja*-\-b'+l * ^a*+é,+ t‘

On trouve de même

Par conséquent on aura cos V en remplaçant x', y', etc. , par ces valeurs. On trouve ainsi

au + bb' -f 1

cos V = — — ■ - ■ -,

V/«, + ô, + l vV*+6', + l

Comme les valeurs de 2' et de 2" ont été prises positivement, il en résulte que cette formule donne l’angle formé par les parties supérieures des parallèles aux droites données, lequel angle sera aigu ou obtus, selon le signe du numérateur aa' + bb' -j- \ .

582. Si les deux droites données font un angle droit, cos V doit être zéro ; donc

üq! bb 4 1 === 0.

11 faut bien remarquer que cette condition n’emporte pas avec elle la conséquence que les droites données se rencontrent; car elle exprime simplement que les parallèles à ces droites font un angle droit. C’est là, en eflet, ce qu’on doit entendre lorsqu’on dit que deux droites, situées dans l’espace, sont perpendiculaires entro

Quand une perpendiculaire doit être abaissée sur une droite donnée, il faut joindre à l’équation précédente celle qui exprime que deux droites se coupent (566). On peut obtenir ainsi de nouvelles solutions pour les problèmes XIII et XIV.

583. Si les droites sont parallèles, on doit avoir V = 0 ou = 1 80° ; donc cos V = ± 1 ; donc

±^«* + 4* + l v/«',+ 4'1+l=aa'+46'+l.

En élevant au carré et transposant, il vient

(a' — a)! + {b'— b)' + [ait— ba')* = 0.

A cette condition il en faut joindre une autre, qui est sous-entendue , c’est que les quantités a, b, a', b', sont réelles. Alors les carrés qui composent l’équation ci-dessus ne peuvent pas être négatifs, et leur somme ne devient nulle qu’en égalant chacun d’eux à zéro. De là résulte a' = a, b' — b, ab' = ba'.

Ces conditions, dont la troisième est une conséquence des deux premières, sont en effet celles qui expriment que des droites sont parallèles.

58-4. En faisant coïncider la ligne OM' successivement avec chacun des axes, la formule générale donnera les cosinus des angles «, P, y, formés par la droite OM avec les axes.

Les équations de l’axe des x sont s = 0, y — 0. Celles de la

ligne OM' peuvent s’écrire ainsi z = -x, y = ~x; donc, pour la

confondre avec l’axe des x, il faut poser — = 0, —.=0.

Mais avant d’introduire ces hypothèses dans l’exprpssion générale de cos V, je la mettrai sous cette forme

cos V =

alors, par les hypothèses ci-dessus, elle donne

cos a =

On retrouve avec la même facilité les valeurs de cos p et de cos y, semblables à celles du problème XV.

Hà