AA' + BB'+CC

COsV = ■ .

y/ A ! + Bs + C* V A’* + B” + C*

588. Pour que les plans soient perpendiculaires entre eux, on doit avoir cos V = 0 , c’est-à-dire ,

AA'+BB'-f CC' = 0.

589. Pour que les plans soient parallèles, ilfautposercosV=±l, ce qui donne

± y/A’+lP+C2 v'A', +B'ï+C,î = AA'-f BB'-j- CC' ; d’où l’on déduirait, en raisonnant comme dans le n° 583.

590. Les angles d’un plan avec les plans des coordonnées étant les mêmes que ceux d’une perpendiculaire à ce plan avec les trois axes, on aura, pour l’angle de deux plans, comme pour celui de deux droites,

cos V = cos a cos a' -f- cos p cos p’ -f- cos y cos y,

a, p, y, et a', p', y', étant les angles de ces plans avec les plans coordonnés. On doit avoir aussi, entre ces angles, les relations

cossa -f- cos!p -j- cos*y = 1 , cosV -f- cos5p' cos!y' = 1 .

591. Problème XIX. Trouver l’angle d'une droite et d’un plan. Si on mène une perpendiculaire au plan, elle fera avec la droite

donnée un angle égal au complément de l’angle cherché. Soient

A# + Bÿ + Cz + D = 0 l’équation du plan , x = az-\-<L, y = bz - 1- p celles de la droite.

En posant «' = — , b1 = - , une perpendiculaire au plan a pour G G

équations

Mettons les valeurs de a' et b' dans la formule qui exprime le cosinus de l’angle de deux droites (581 ), on aura le sinus de l’angle cherché. En nommant U cet angle, il vient

. TT Aa + B4 + G

sin U = • - — - .

Aie

Quand la droite donnée est parallèle au plan , sin U = 0; donc \a Bè -f- G = 0 : c’est la condition connue (571).

Quand la droite est perpendiculaire au plan , sin U = 1 : alors encore, en raisonnant comme dans le n° 583, on retrouve A =«C, B =6C (576).