TRANSFORMATION DES COORDONNÉES DANS L’ESPACE

Formules propres aux différents cas.

592. Formules pour passer a des axes parallèles (fig. 23). Soient Ox, O y, O-, les anciens axes; et O'x', Cf y', Cfz', des axes parallèles. Nommons f, g, h, les coordonnées de la nouvelle origine O', rapportée aux axes primitifs; x, y, z, celles d’un point quelconque M, relativement à ces axes; et a/, y ', z, celles du même point, relativement aux nouveaux axes. Supposons que le plan z'O'y' rencontre l’axe Ox au point A, et qu’un plan parallèle, mené par le point M, aille couper ce même axe en P, et l’axe parallèle en F. On aura OA — f, OP = x, 0'P' = AP = x', et il est évident que x — x' -j- f. On trouve de même y — y'-\-g, et z = zf -f h. Donc, pour passer à des axes parallèles, les formules sont

Chaque coordonnée doit être prise avec le signe qui convient à sa position.

593. Remarque. Si on mène par le point O' trois axes qui aient de nouvelles directions, et si on veut exprimer x, y, z, en coordonnées x", y ", s", comptées sur ces derniers axes, il est clair qu’il suffira d’obtenir les valeurs de x', ÿ, z', en fonctions de x", ?/', z", et d’ajouter ensuite à ces valeurs les quantités f, g, h. C’est pourquoi nous supposerons dans la suite de ce chapitre que l’origine reste toujours la même.

594. Formules générales pour changer la direction des axes. Soient (fig. 24) Ox, O y, O;, trois axes quelconques ; Ox', Oÿ, O;'.

trois autres axes; x, y, z, les coordonnées d’un point quelconque M rapporté aux premiers; et x! , y, z', celles du même point par rapport aux derniers. Menons, parallèlement à l’axe des z, la droite MQ qui perce le plan de xy en Q; et ensuite, parallèlement à l’axe des y, la droite QP qui rencontre la ligne des x en P : on aura OP = x, PQ = y, QM = z. On construira d’une manière analogue OP' = x', P'Q' = y', Q'M' = z'.

Par l’origine imaginons (sans les tracer, afin de ne pas compliquer la figure) trois droites ou axes auxiliaires OA, OB, OC, savoir : OA perpendiculaire au plan de yz, OB perpendiculaire à celui de xz, et OC perpendiculaire à celui de xy ; puis, projetons sur chacun de ces axes les deux contours x y -j- z, x' -f- y' -}- z'. OA étant perpendiculaire aux y et aux z, les projections de ces coordonnées sur OA seront nulles, de sorte que la projection du premier contour se réduit à x cos xOA . Celle du second contour estx'cosx'OA-j-y'cosy' OA-j-z'cosz'OA (526). Or, il est évident que les deux projections doivent être égales; donc

x cos xOA = a/ cos x'OA -f- y' cosy'OA -|- z' cos -OA.

Cette formule donne x en fonction de x', y', z'. On en obtient de semblables pour y et z, en faisant les projections sur OB et OC.

Convenons de représenter en général l’angle de deux droites en mettant entre deux parenthèses les lettres affectées à ces droites, de telle sorte, par exemple, que les angles xOA, x'OA, etc., soient désignés par (xA), (x'A), etc. Alors les trois formules s’écriront ainsi :

Îxcos(xA) = x'cos(x’A) -j- y'cos(y'A) -f- z'cos(z'A), y cos(yB) — x'cos(x'B) -j- ÿ cos(y'B) -)- z'cos(z'B), z cos(zC) = x'cos(x'C) -f- y'cos(y'C) -j- z'cos(z'C).

Comme il arrive rarement qu’on ait besoin de changer des axes obliques en d’autres axes obliques, ces formules sont peu employées dans les calculs.

595. Changement des coordonnées rectangulaires en obliques. Dans ce qui précède, on peut supposer les axes des x, des y et des z perpendiculaires entre eux. Alors les droites auxiliaires OA, OB, OC, coïncident avec ces axes, et on a cos(xA) = l, cos(yB) = i , cos(zC) = 1 ; de plus, on doit remplacer partout A, B, C, par x, y, z.

Pour abréger, on pose

cos [x'x) = a, cos [xfy) — a', cos (x'z) = a", cos (i/x) — b, cos (y y) = b\ cos {y'z) = b", cos [z'x) = c, cos (2' y) = c', cos (s1 2) = c" ;

et les formules cherchées seront

1x = axf -| -hj -f-ex', y — a’x' -\-b'ÿ -\-J 2',

Les trois angles qui servent à fixer la direction de chacun des nouveaux axes ne sont pas entièrement arbitraires : d’après des relations connues (530, 585) , on doit avoir aI + o', + a‘'1 = 1,

1 cs +c'’+c"* = 1.

596. Remarque. Si on résout les équations [3] par rapport à x', y', 2', on aura des formules propres au cas où l’on voudrait transformer des coordonnées obliques en rectangulaires.

Ensuite, ces nouvelles formules, combinées avec les précédentes [3] , pourront servir à passer des axes obliques à d’autres axes obliques. 11 suffira, en effet, d’effectuer deux transformations successives : la première , pour remplacer le système oblique par un système rectangulaire; et la seconde, pour substituer à ce dernier un autre système oblique.

597. Changement des axes rectangulaires en d’autres axes rectangulaires. On se servira des mêmes formules que dans le numéro précédent ,

x — ax' -\-bÿ -|- cz\

z = aV-f é"y'-f-cV.

Mais il faut exprimer que les nouveaux axes sont aussi perpendiculaires entre eux : pour cela, on égale à zéro les expressions de cos (x'y'), cos [tfz'), cosJyY), en fonctions des cosinus a, b, c, etc. (533, 585). En réunissant ces nouvelles équations de condition aux trois qu’on a déjà, il y en aura six en tout, savoir :

0] j A* + A'* -f- b"' = 1 , [b] | ac -j- a!c -j- a"c” = 0,

'cs + <« j-c"’ =1; * bc -f- Vd -f b"c" = 0.

Ces équations peuvent servir à trouver six des neuf cosinus a, a',

a", b, Je ferai connaître tout à l'heure de nouvelles relations

qui se déduisent de celles-là, et qui sont d’un fréquent usage.

598. Remarquons d’abord que les deux systèmes d’axes étant rectangulaires, il s’ensuit que x', y, ï, doivent s’exprimer en x, y, z, par des formules analogues aux précédentes [4]. Et en effet, si on se rappelle quels cosinus sont désignés par a, ci, a”, b, b', b", c , d, c", et si on projette les trois coordonnées x, y, z , sur l’axe Ox', puis sur l’axe Oy', puis sur l’axe Os', on obtient

!x? = ax -f- a'y -j- a”z, y = bx -f b'y -j- b"z,

J — ex -{-c'y - j- c"z.

On peut encore trouver ces valeurs au moyen des équations [4]. Par exemple , pour avoir x', on les multiplie respectivement par a, a', a", puis on les ajoute : en ayant égard aux relations [a] et [6], il vient x' az -f- a'y -j- a"z. On obtient de la même manière y' et z'.

599. Il doit exister aussi , entre les coefficients de ces valeurs , six relations analogues à celles qui ont lieu entre les coefficients des valeurs [4] de x,y,z; et d’ailleurs ces relations peuvent se trouver directement. D’abord il est clair que a, b, c, sont les cosinus des angles formés par l’axe des x et avec ceux des x\ y', z'; et puisque ceux-ci sont rectangulaires, on doit avoir a* -j- b* -j- c2 = f . Même raisonnement à l’égard de a', b', c', et de a", b", c". En second lieu , l’angle (xy) a pour cosinus ao! -f- bb' -j- cd : or, cet angle étant droit, on a aa' -j- bb' -f- cd i= 0. Même raisonnement pour les angles [xz) et (yz). Ainsi , en même temps que les équations [a] et [4] , on a toujours les suivantes :

/ a* -f- b2 + c* = 1 , / aa’ bb' -f- cd — 0,

[c] a'1 + b'2 + d2 = 1 , [rf] aa" -f bb" -f ce" = O,

U*» + b"2 + c"2 = 1 . ‘ à a" + b' b" + de" = 0.

On peut encore, par des considérations géométriques, arriver à d’autres équations; mais il resterait alors des difficultés sur quelques signes ambigus. 11 sera mieux de les établir comme conséquences des équations [n] et [4]; et tel est l’objet du théorème suivant, dans lequel on retrouve aussi les dernières équations |c] et [d].

Sur les équations de condition entre les neufs coefficients a, a'.

600. Théorème. Quelles que soient les neuf quantités a, a', a", b, b', b", c, d, c", si elles satisfont aux six équations

, a> j a'8 -j- a"* = 1, ( ab + a'b1 + a"b" — 0,

[a] = [ô] j ac + a'c' -j- a'c" = 0,

( cx -j- c'x -j- d'* = i . ' bc + b'c' + b"c" = 0;

je dis qu’elles satisferont également à celles-ci :

, a« 4. i* + c» — i, | aa' + bb' + cd — 0,

[c] a'» + 6', + c'* = l, [d] \aa" + bb" +cd' = 0,

et encore aux dix suivantes , dans lesquelles on devra prendre les signes supérieurs ensemble, ou bien les signes inférieurs ensemble :

Îb'c" — db" — ± a, cb" — bc" = ± a', bc' — cb' —±a", da" — a'c" = ±b, ac” — ca" — ±b', ca' — ac' = ±b" , a'b " — b' a" =±c, ba" — ab" = ±d, ab' — ba' — ±c", ab'c" — ad b" + cclb" — ba'c" + bd a" — cb’a" = ± 1 .

Pour démontrer cette proposition , je prendrai trois indéterminées x', ÿ, z' ; et je ferai

aud + btj + cz' = x, a'x' -j- b’ÿ + dz' —y, a"x' -f b" y' -}- c"d = z ,

x, y , z, étant aussi des indéterminées. Si on élève ces égalités au carré et qu’on les ajoute, il vient, en ayant égard aux relations [a] et [6] ,

x* + y * + z'5 = xx + ys + z*.

On peut obtenir x'x + ÿ'* + z'1 en tirant des équations [a] les valeurs de x', y', d, et en ajoutant leurs carrés. Or, ces valeurs ellesmêmes peuvent se calculer de deux manières différentes.

Premièrement, on peut multiplier les équations [a] respectivement par a, a', a", et les ajouter ensuite. En ayant toujours égard aux relations [a] et [6], on trouve x'=ax-j-a'ÿ + n''z. On aurait y' et z' en ajoutant ces mêmes équations, après les avoir multi-

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. /fil

pliées respectivement par 6, b', b", ou par c, d, c". De cette manière on obtient

od = ax + a'y + a"z , ÿ = bx + b'y + b"z, z1 = ex - f- c'y -(- c"z ;

et par suite on a

*'‘+.y',+s',= («*+ô,+ c*)x+ (a'+6'+ c")y*+ (a"+ 6"’+c",)2» -)- 2(aa+ 66'+ cc')xy-\- 2(aa+ 66+ cc”)xz- f- 2(a'a'+ 6'6'+ dd')yz.

Cette expression doit être identiquement la même qui a été trouvée plus haut ; donc les coefficients des carrés x *, y*, z *, doivent être égaux à l’unité , et ceux des produits xy, xz, yz, doivent être nuis. Ainsi se trouvent démontrées les relations [c] et [d].

Secondement, on peut, ainsi que l’a fait Lacroix, tirer des éq. [a] les valeurs de x', y\ z', comme on s’y prend ordinairement pour résoudre les équations du 1er degré ; et, de cette manière, en posant ab'c" — ad b" + ca'b" — ba'd' -(- bd a" — cb'a" = X , on trouve

b'd' — db"

bd — cb'

ca' — ad

6a" — ab"

ab'—ba'

Ces valeurs doivent être identiques avec celles qui ont déjà été obtenues plus haut; donc on a

b'c" — c'b" = aX, cb" — 6c" = a'X, bd — c6' = a"X, da" — a'd' = 6X, ad' — ca" = 6'X, ca’ — ad =6"X, al b" — 6'a" =cX, ba" — ab" = c\ ab' — ba!=drk. ,

Pour avoir les relations [e], il suffit donc de faire voir que X=zb 1 . A cet effet, ajoutons les carrés des équations qui composent la d" ligne des neuf équations ci-dessus; et, en remarquant que a’ -j- a” + a"* = d , il vient

X» = (6'c" — c'b"Y -f (c6" — 6c")1 + (bd — c6')s = (6* -f 6's + 6"*)(c* + c'* -f- c"*) — (6c + 6'c' + 6"c")*.

Mais, en vertu des relations données [a] et [6], le dernier membre se réduit à l’unité ; donc X = ± d, et les éq. [e] sont démontrées.

Remarquez bien que dans toute notre démonstration les quantités a , a', a",... ne sont assujetties qu’aux conditions exprimées par les éq. [a] et (4j : de sorte qu’elles peuvent être, d'ailleurs, indifféremment négatives ou positives, plus grandes ou plus petites que l’unité, imaginaires ou réelles. Ce serait donc établir une restriction inutile que de les considérer comme des cosinus, ainsi que l’ont fait quelques auteurs.

Formules (TEoler, pour passer des axes rectangulaires à d'autres axes rectangulaires, au moyen de trois angles, 9, 8, <j/.

601. Le changement des axes rectangulaires en d’autres axes rectangulaires étant celui dont l’emploi est le plus fréquent, les géomètres ont présenté sous des formes très-variées les formules propres à ce cas. Celles que nous avons données plus haut (597) sont fort simples sans doute, et elles ont l’avantage de conduire à des calculs symétriques; mais aussi elles ont l'inconvénient d’entraîner toujours à leur suite des équations de condition, auxquelles il faut avoir égard dans le calcul. Il n’en est ainsi que parce que ces valeurs contiennent neuf constantes, a, b, c, etc., tandis qu’il n’en faut réellement que trois pour fixer les directions des nouveaux axes. C'est pourquoi nous allons nous réduire strictement à ce nombre de données, et prendre avec Eiler trois angles <p> 6, «V, savoir (fig. 25) :

œ = l’angle ROx, compris entre l’axe des x et la trace OR du plan de aft/ sur celui de xy;

6 = l’inclinaison du plan de x'y sur le plan de xy;

<li = l’angle ROx' compris entre l’axe des x' et la trace OR.

Il y a plusieurs moyens d’arriver aux formules qui ne contiennent que ces données : celui qu’on va exposer consiste à chercher les valeurs des neuf cosinus a, b, c, etc., en fonctions des trois angles ?, 0, 4'-

Concevons que le point O soit le centre d’une sphère dont la surface est rencontrée aux points A, B, C, ü, E, parles lignes Ox, OR,Ox',Oy,Os; et formons les triangles sphériques ABC, BDC, BCE. En supposant les arcs et les angles évalués en degrés, on a AB=<a, BD = 90° — <p, BC = 4», BE = 90°, CBD = 0, CBA = 180° — 6, CBE =90° — 8.

Rappelons la formule connue (93)

cosot = cos {i cos y -J- sin fs sin -y cos A,

dans laquelle a, (3, y, sont les trois côtés d’un triangle sphérique, et A l’angle opposé au côté a. En appliquant cette formule aux triangles ABC, BDC, BCE, on obtient facilement cosCA, cosCD, cos CE, c’est-à-dire a, d, a". On trouve ainsi

a =cosCA=cosçcos^ — sin ? sin4>cos0, d == cosCD = sin ? cos 4* -|- cos® sin 4 cosfl, d'= cosCE = sin 4* sin 6.

Il est facile de déduire de ces valeurs celles de b, b', b ", c, c, d'. En effet, si on change d’abord 4' en 90° + 4', la ligne Ox' va se placer sur O//', et par suite les valeurs de a, a', d' , deviennent celles de b, b', b", savoir :

4" = cos 4* sin6.

Ensuite, si on remplace 0 par 90°+ 0, dans les valeurs de a , d, a", le plan x'OR devient z'OR; et si on fait en outre 4' = 90°, la ligne Ox' devient Oz' : on obtient ainsi

c = sin? sin6, d — — cos o sinO, c" = cosO.

En substituant toutes ces valeurs dans les formules [4] du n° 597, il vient

Îx = x'(cos<pcos4< — si n ? sin 4> cos 8 )

— j/(cos<p sin4» + sin? cos 4< cosO) -f- z'sin?sin8, y =x'(sin<pcos4> + cos? sin^cosO)

— y' (sin? sin 4* — cos ? cos 4' cos 0) — z'cos ? sin 0, z =x'sin4'sinO-f-y'cos4'sin8-f- z'cosO.

Telles sont les formules d’EuLKR. Leur généralité est sujette à une légère restriction, laquelle résulte de ce qu’on a supposé, en calculant b, b', b', que la portion d’axe sur laquelle se comptent les valeurs positives de xj était placée, par rapport à la trace OR, à 90° au delà de l’axe des x'. Si on voulait qu’elles fussent comptées du côté opposé Oy,, il faudrait, en passant des expressions de a, d , a", à celles de b, b', b", remplacer 49 non par 90“ -f- 4',

àn

mais bien par 270°+ 4s ou, ce qui est plus simple, on changerait dans les formules [6] les signes des termes en y'.

602. Quand on prend la trace OR pour la ligne des x', les formules se simplifient considérablement. Il faut alors faire ^=0, ce qui les réduit aux suivantes :

[7] | y = x'sin -f- y'costf cosO — z'costpsiné,

( z = y'siné -j- z'cosO.

Formules pour trouver l’intersection d’une surface par un plan.

603. Lorsqu’on a l’équation d’une surface F [x, y, z) = 0, et qu’on veut connaître l’intersection de cette surface par un plan, la première idée qui se présente, c’est de rapporter cette intersection à deux axes tracés dans son plan même : or voici une méthode pour y parvenir.

Supposons que les axes des x, y, z, soient rectangulaires. Pour déplacer aussi l’origine, ajoutons aux valeurs [6] les coordonnées /', g, h, de la nouvelle origine (593), et substituons ensuite ces valeurs dans l’équation F ( x , y, z) — 0. Alors la surface sera rapportée aux nouveaux axes; et si on fait 0 dans l’équation résultante, on aura l’intersection de ce surface par le plan de x'y', qu’on peut toujours supposer être le plan donné.

Mais on peut faire z1— 0 dans les formules avant la substitution; et même, si on n’a point d’autre but que de connaître l’intersection de la surface, on peut simplifier encore les calculs en prenant l’axe des x' parallèle à la trace OR (fig. 23), ce qui revient à supposer t}' = 0. De cette manière on a

Ix— f -j-x'costf> — y'sin<?cosô, y = g + x'sin <p -(- y'cos? cosO, z = h -j-y'siné.

Ces valeurs ne conviennent plus qu’au plan donné, de sorte qu’en les mettant dans F(x, y, z) = 0, on aura l’équation de la section cherchée.

604. Si on veut trouver directement les formules [8], on le fera par la construction suivante. Soit M (fig. 26) un point quelconque pris dans le plan y' Ox', dont la trace sur le plan xOy est Ox1; et soient les coordonnées 0F=x, PQ=y, QM=z, 0F=x', P'M=y'.

Joignez P'Q, et menez P'G parallèle à O y et P'H parallèle à Ox. La ligne P'Q est perpendiculaire à Ox', l’angle HQP est égal à xOx', et l’angle MP’Q est égal à l’inclinaison du plan y'Ox’ sur le plan ÿOx : on fait MP'Q = 6 et x'Ox — <p . Gela posé, les triangles rectangles MQP', QP'H , OGF, donnent MQ = y' sin 0 , QP' = ÿ cos 6 , HP' = QP' sin <p, HQ = QP' cos <p, OG = x' cos <p, GP' = x sin * .

Mais on a x = OG — HP', y = GP' -j- HQ, z = MQ ; et en mettant au lieu des lignes leurs valeurs, puis ajoutant les constantes f, gr, h, on retrouve les formules [8].

Coordonnées polaires.

605. Une-autre sorte de transformation est encore usitée : c’est celle des coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires. Supposons (fig. 27} que la ligne OM soit projetée en OM' sur le plan de xy, et qu’on donne la distance OM , l’angle MOM' formé par cette ligne avec sa projection sur le plan xO y, et l’angle M'Ox que cette projection fait avec l’axe des x. Posons OM=p, MOM'— 6, M'Ox=tp; et soient toujours OP = x, PM'=y, MM'=z, les coordonnées rectangulaires du point M.

Les triangles OPM', OMM', donnent x = OM' cos <p, y = OM' sin <p, OM' = p cos 0, s = p sin 6 ; par conséquent

x = p cos 0 cos <p , y — p cos 0 sin cp, z = psinO.

Si on transporte dans la Géométrie les dénominations employées par les astronomes, p sera le rayon vecteur du point M, 0 en sera la latitude, et <p la longitude.

Au lieu des angles 0 et <p, on peut se servir des angles a, (3, y, formés par le rayon p avec les trois axes rectangulaires. Alors on a x = p cos a, y = p cos 3 = p cos y : mais il faut établir, entre a, P, Y, la relation cos’ a -f cos* ? -)- cos! y = i .