ÉNUMÉRATION DES SURFACES RENFERMÉES DANS LE SECOND ORDRE

Sur la classification des surfaces en général.

606. Quand une surface est représentée par une équation entre des coordonnées x, y, z, parallèles à trois axes, si on veut la rap-

porter à d’autres axes, il faut mettre dans l’équation, à la place de x , y, z, leurs valeurs en fonction des nouvelles coordonnées. Or, ces valeurs étant de la forme ax‘ -f~ bÿ -|- cz' + /, il s’ensuit que l’équation transformée restera algébrique ou transcendante selon que la proposée est elle-même algébrique ou transcendante. Mais ce qu’il importe le plus de remarquer ici, c’est que le degré d’une équation algébrique ne peut pas changer.

D’abord il est évident qu’il ne peut pas augmenter, puisqu’on remplace x, y, z, par des valeurs du premier degré en xf, ij, z1; et, d’un autre côté, il ne peut pas uon plus diminuer, autrement le degré de la nouvelle équation devrait croître si on repassait aux premiers axes. C’est sur cette remarque qu’est fondée la distribution des surfaces algébriques en différents ordres, d’après le degré de leurs équations. Le plan est la seule espèce de surface qu’il y ait dans le premier ordre. Nous verrons bientôt qu’il y en a cinq dans le second ordre.

607. Une propriété géométrique est attachée à chaque ordre : elle consiste en ce qu’une surface de l’ordre m ne peut pas être coupée par un plan suivant une ligne d'ordre supérieur à m, ni être rencontrée par une droite en plus de m points.

En effet, si on prend le plan sécant pour celui de xy, et qu’on fasse s = 0 dans l’équation de la surface , on aura l’équation de l’intersection de la surface avec le plan sécant ; or, cette équation est au plus du degré m.

En second lieu, une droite étant donnée, on peut la prendre pour l’axe des x; et si alors on fait 3 = 0, y = 0, dans l’équation de la surface, on aura une équation qui sera au plus du degré m, et qui donnera, pour valeurs de x, les distances de l’origine aux différents points de l’intersection de la surface avec la droite : donc le nombre des intersections ne surpasse point m.

608. Dans certains cas, l’équation dans laquelle on fait s = 0 se trouve vérifiée par cette seule substitution. Alors elle contient le facteur z dans tous ses termes , et on peut l’écrire sous la forme Y 3 = 0. On y satisfait donc en posant soit V = 0, soit 3 = 0. Or, l’équation 3=0 détermine le plan de xy\ et l’autre équation, V = 0, u’est plus que du degré m — 1 : ainsi l’équation donnée ne représente plus, à proprement parler, une surface de l’ordre m.

Il peut aussi arriver que les hypothèses y = 0, 3 = 0, vérifient

l’équation sans aucune détermination de x : alors la ligne des x est tout entière sur la surface.

609. Quant aux lignes considérées dans l’espace, la principale distinction à faire est celle des lignes planes et des lignes à double courbure. Les unes peuvent être comprises tout entières dans un plan, les autres ne le peuvent pas. Le plus généralement les lignes à double courbure sont données par des intersectious de surfaces, mais elles ne peuvent être assujetties à aucune classification fondée sur l’ordre des surfaces : car on peut varier d’une infinité de manières deux surfaces sans changer leur intersection. A la vérité, on pourrait considérer les courbes dans leurs projections (530) : mais il arriverait encore alors qu’en changeant les plans de coordonnées les projections pourraient n’être plus représentées par des équations du même degré; par conséquent, une classification établie sur l’ordre des projections serait défectueuse.

Simplification de l’éqnation générale du second degré: évanouissement des trois rectangles.

610. On pourrait reconnaître les différentes surfaces renfermées dans l’équation du second degré en suivant la même marche que pour les lignes du second ordre. Mais comme alors on serait obligé de distinguer un grand nombre de cas , il vaut mieux commencer par simplifier l’équation.

Menons dans la surface une suite de cordes parallèles, prenons les 2 parallèles à ces cordes , et laissons arbitraires l’origine et la direction des x et des y. L’équation de la surface peut être mise sous la forme

[A] kx' + A'y* + A"2* +2Bxy + 2B'.rs + 2B''yz

-f 2C2 + 2Cy + 2C"s -j- F = 0.

On en tire

fh'x B"y C" cr