VR

R étant une fonction de x et y. Il est visible que le plan dont l’équation est

— B'x — Br'y— C"

coupe toutes les cordes parallèles aux s en leurs milieux; donc, si on avait pris tout d’abord le plan de xy parallèle à ce plan, on

aurait dû trouver, pour ce plan diamétral , z = constante. C’est-àdire qu’alors on a B'=0, B''=0, et que par conséquent l’équation de la surface se réduit à

[B] Ax! + ky + A"z* + 2B xy + 2Cx + 2C 'y + 2C"z + F == 0.

Afin d’opérer une plus grande simplification, changeons la direction des x et des y, sans changer ni leur plan, ni l’origine, ni l’axe des z. Il n’y a dans [B] que les termes fonctions de x et de y qui varieront; et il est évident qu’ils seront, après la transformation , les mêmes que si on n’eût considéré que la trace de la surface sur le plan de xy , laquelle trace s’obtient en faisant z — 0 dans [B], et a pour équation

Ax* + A y + 2B xy + 2Cx + 2C 'y + F = 0.

Or, en changeant la direction des x et des y, on peut toujours faire disparaître de cette dernière équation le rectangle xy, on peut donc opérer aussi la même simplification dans l’équation [B] , et par conséquent lui donner cette forme plus simple,

[C] Px1 + P y + P"z* — 2Qx — 2Q 'y — 2Q"z + F = 0.

laquelle comprend encore toutes les surfaces du second ordre.

Il faut bien remarquer qu’on peut avoir cette forme d’équation avec une infinité de systèmes d’axes obliques : car d’abord on peut donner une infinité de directions différentes aux cordes parallèles de la surface, ce qui change l’axe des z; et ensuite, quand le plan de xy est déterminé, on peut encore faire évanouir le rectangle xy en variant d’une infinité de manières, dans ce plan, les axes des x et des y. Et remarquez encore que tous ces changements se font sans déplacer l’origine primitive, qui reste tout à fait arbitraire.

Réductions ultérieures.

6H. Pour obtenir de nouvelles simplifications, disposons de l’origine. A cet effet on remplace x, y, z, par x + f, y -fÿ, z+A; et l’équation [C] devient

Px*+py +p*z* )

-f P/1* + Frf+ FA* — 2Q/* — 2Q'y — 2Q"À + F )

1° Si la disparition des rectangles n’a fait évanouir aucun des

trois carrés dans [C] , les coefficients P, F, P", sont différents de zéro , et l’on fera disparaître de l’équation [D] les trois termes du 1*' degré en posant P f — Q= 0, Vg — Q’=0, P"A — Q"=0, d’où Q Q' Q"

f— p ^ = pi > h — pj' Al°rs l’équation transformée [D] prend la forme

[E] p** + py + pv = H.

2° Supposons qu’un des carrés manque dans [C] : par exemple, soit P =0. La valeur précédente de f devient infinie, alors le terme en x de la transformée [D] ne renferme plus l’indéterminée f, et il n’est plus possible de le faire évanouir. Mais on fera disparaître les premières puissances de y et de z, ainsi que la partie constante, en prenant

Q' ,Q" ,Py+P”A* — 2Q'0— 2Q"A + F

et l’équation de la surface sera

[F] py+PV=2Qx.

On pourrait craindre que la dernière valeur de f ne fût infinie; mais il est permis de supposer Q différent de zéro. En effet, si, outre P=0, on avait Q=0, l’équation [C] ne contiendrait point x; donc en prenant pour g et h les valeurs ci-dessus, la transformée aurait la forme P’y’ -j- PV=H, laquelle est déjà comprise dans l’équation [E].

3° Enfin , considérons le cas où l’éq. [C] aurait perdu deux carrés à la fois , et supposons qu’elle soit P "z* — 2Qx — 2Q y — 2Q''z-j-F=0. Alors, on ne peut pas faire évanouir les termes en x et y, mais,

en prenant h =

le terme en z disparaît encore, et l’éq. [D], en

nommant F la partie constante, devient

PV— 2Qx — 2Q ’ y + F = 0 .

Faisons z = 0 : cette équation donne 2Qx + 2 Q'y = F', ce qui prouve que le plan de xij coupe la surface suivant une droite. Un peut prendre cette droite pour ligne des y, et ce changement n'altérera point le terme P "z*. Mais les termes — 2Qx — 2Q'y -f- F' seront remplacés par un seul de la forme Sx; car il faudra que l’hypothèse z = 0 donne x=0. L’équation de la surface deviendra donc PV-fSx=0 : c’est un cas particulier de l’équation [F].

Il résulte de ce qui précède que toutes les surfaces du 2* ordre, sans exception, sont données par les deux équations

[E] Px'+ P'y’-f PV= H, [F] py+ P"2‘ =<l(±x.

A la vérité, les coordonnées ne sont pas rectangulaires; mais pour le moment cette condition est inutile.

Remarques sur les équations réduites. — Distinction entre les surfaces qui ont un centre et celles qui n’en ont pas.

612. Le caractère distinctif des surfaces renfermées dans les équations réduites [E] et [F], et qui résulte de la forme même de ces équations, c’est que les unes ont un centre, et que les autres n’en ont pas.

En effet, les équations d’une droite passant par l’origine sont z = az, y = bz ; et en les combinant avec [E], on aura, pour les deux points M et M' (fig. 28) où la droite rencontre la surface, des coordonnées égales et de signes contraires. De là, il est facile de conclure que l’origine coupe en leurs milieux toutes les cordes menées dans la surface par cette origine. Or, cette propriété est la définition même du centre.

Quant aux surfaces de l’éq. [F], si elles avaient un centre, on pourrait y placer l’origine; et en menant, par cette origine, une corde quelconque entre deux points de la surface, les coordonnées de ces deux points ne devraient différer que par les signes. Pour que cela soit, il est facile de reconnaître que l’équation de la surface ne doit renfermer aucun terme du premier degré : or, quand nous avons déplacé l’origine (6H) pour passer de l’éq. [C] à la transformée [F], nous n’avons conservé le terme en x que parce qu’il a été impossible de le faire évanouir; donc l’éq. [F] ne représente que des surfaces dénuées de centre. Il est bien entendu que Q est différent de zéro ; autrement l’éq. [F] serait un cas particulier de [E].

613. Cependant il faut observer que si ces dernières surfaces n’ont pas de centre, c’est parce que les coordonnées qui déterminent en général la position de ce point deviennent infinies, ou au moins l’une d’elles. Ainsi, à parler exactement, ces surfaces doivent être regardées comme ayant un centre situé à l’infini, et, par conséquent, on pourra leur appliquer les propriétés des pre-

mières en y faisant les modifications convenables. C’est ainsi que les paraboles sont des ellipses dont les axes sept infinis.

614. La forme de l’éq. [lij met encore eu évidence d’autres propriétés. Comme elle ne contient x, y, z, qu’au carré, si on coupe la surface par des plans parallèles au plan de deux axes coordonnés, on voit facilement que les sections sont des courbes qui ont leurs centres sur le troisième. Or, cette propriété est celle que nous prendrons pour définition des diamètres; donc les axes actuels des coordonnées sont des diamètres de la surface.

Quand le diamètre est perpendiculaire aux plans des sections parallèles, c’est un diamètre principal ou un axe de la surface.

615. Il est évident aussi que l’éq. [E] donne pour chacune des variables deux valeurs égales et de signes contraires. Chaque plan coordonné coupe donc en leurs milieux une suite de cordes parallèles; et, pour cette raison, on dit qu’il est un plan diamétral.

Quand un plan diamétral est perpendiculaire aux cordes qu’il divise en leurs milieux, on le nomme plan diamétral principal , ou simplement plan principal. Alors les cordes elles-mêmes peuvent aussi être nommées cordes principales (').

616. Dans une surface du second ordre, quand trois diamètres sont tellement disposés que chacun contient les centres des sections parallèles au plan des deux autres, on les appelle diamètres conjugués; et pareillemeiit , trois plans diamétraux sont conjugués lorsque les cordes, que chacun coupe par moitié, sont parallèles à l’intersection des deux autres.

De ces définitions il résulte que dans l’éq. [E] les axes des coordonnées sont des diamètres conjugués, et que les plans coordonnés sont des plans diamétraux conjugués. En général, quels que soient les diamètres conjugués ou les plans diamétraux conjugués, auxquels on rapporte la surface, son équation doit conserver la forme [E] ; car, si elle en avait une autre, les conditions qui caractérisent ces plans et ces diamètres ne seraient pas remplies.

(') En général, si une équation algébrique ne contient que des termes de même parité, c’est-à-dire, tous de degré, pair, ou tous de degré impair, la surface aura l’origine pour centre. L’équation xyi1 — 2 xs + ys+ I = 0 est dans ce cas.

Si les termes sont de même parité seulement par rapport à deux coordonnées x et y, l’axe de la troisième sera un diamètre. Exemple : x*ylz— — y — ;=0.

Enfin, si tous les termes sont de degré pair par rapport à une seule coordonnée, s, le plan de xy est un plan diamétral. Exemple : .tyxk — ,r5x’— 3* — 1 =0.

fil 7. Dans l’éq. [F], il n’y a que l’axe des 2 qui soit un diamètre, et il n’y a que les plans de xy et de xz qui soient plan? diamétraux. Ces deux plans sont aussi appelés conjugués, attendu que les cordes que chacun d’eux coupe par moitié sont parallèles à l’autre.

Surfaces douées de centre.