Discutons d’abord l’équation [P

iv 4 py + PV = II.

Le procédé le plus simple, pour connaître la forme d’une surface, consiste à chercher ses intersections avec les plans coordonnés et avec leurs parallèles, en conséquence : je fais alternativement 2=0, y = 0, x = 0 , dans [P], Il vient PV -|- Py = H, PV 4- PV = H , py -j- FV = H ; donc les plans coordonnés coupent la surface suivant des ellipses, AB, AG, BG (fig. 29). Afin d’éviter la confusion, on n’a tracé qu’un quart de chacune.

Pour avoir des sections parallèles au plan de xy, je fais 2 = y; et j’obtiens PV + Py = H — P'y , équation qui est encore celle d’une ellipse. A la vérité, cette ellipse est la projection de la section sur le plan de xy; mais ici cette projection est égale à la section elle-même. Donc, si on prend Oa = y, et si on mène le plan aob parallèle à xOy, la section ab qu’il fera dans la surface sera une ellipse égale à celle qui est donnée par l’équation ci-

dessus. Les longueurs de ses demi-diamètres, parallèles aux x et aux y, sont

ces expressions changent avec la valeur de y . Elles vont en dimi-

VJJ

— : à cette limite elles sont

nulles; et au delà elles sont imaginaires. Il s’ensuit que, si on

prend OC = y/—, la surface n’aura que le point B de commun

avec le plan RCS parallèle à xOy, et ne s’étendra pas au-dessus.

En changeant y en — y, on a des sections situées du côté des z négatifs. 11 est évident qu’elles sont égales à celles qui sont placées aux mêmes distances, de l’autre côté de l’origine. En prenant OC' = OC, et menant le plan R'C'S' parallèle à xOy, la surface ne dépassera pas ce plan , et n’aura avec lui que le point C' de commun.

On trouverait des résultats analogues en faisant des sections parallèles aux plans de xz et de yz. Mais ce qui précède donne une idée assez précise de la surface, et suffit pour prouver qu’elle est limitée et fermée dans tous les sens. Elle a reçu le nom d’ELLIPSOÏDK.

On donne, à l’équation [P] une forme remarquable en y introduisant les longueurs des diamètres conjugués, sur lesquels sont comptées les coordonnées x , y, z. Divisons d’abord cette équa-

VH /H /H

p, à = y p, c= y—, il

viendra

[p] ^ + fr + ^ = 1, ou 4!c’x! -j- aVy* -j- a'b'zt = a'tb,ci",

a oJ c

et il est évident que a, b, c, sont les demi-diamètres dont il s’agit : car si, par exemple, on fait y = 0 et z = 0, on trouve x — ±a. Quand les coordonnées sont rectangulaires et qu’on suppose

b = a, l’éq. [/>] devient x * -f- y* -{- — z* = a*; alors toutes les sections perpendiculaires à la ligne des z sont des cercles qui ont leurs centres sur cette ligne. Comme d’ailleurs le plan de xz coupe la surface suivant une ellipse qui a cette ligne pour un de

ses axes, ou conclut que la surface est engendrée par la rotation d'une ellipse autour d’un de ses axes. C’est Y ellipsoïde de révolution.

Si de plus on suppose c = 0, l’équation devient x* -f- if -f- z* = a* : c’est celle d’une sphère dont le centre est à l’origine. Pour placer le centre dans une position quelconque, il faut prendre l’équation

Il est clair, en effet, que tous les points de la surface sont à la distance a d’un même point fixe dont les coordonnées sont a, P, y : donc la surface est celle d’une sphère qui a ce point pour centre, et a pour rayon.