Passons à l’éq. [P
[F] Px* + F*y — PV = H.
Les sections de la surface par les plans coordonnés ont pour équations Px* -f Vif = H, P** — F'z* = H, Vif — F'z* = H. La première détermine une ellipse ABA'B' (fig. 30); et les deux autres, des hyperboles.
En faisant z = ± y, il vient Par* -)- Fy’ — H -J- F'y* ; donc les sections parallèles au plan de xy sont des ellipses, à quelque distance de l’origine qu’elles soient faites. Elles ont deux demi-diamètres conjugués parallèles aux x et aux y,
oa
= V/S±Si,
+ py
et on voit qu’ils peuvent croître jusqu’à l’infini. C’est-à-dire que la surface s’ouvre de plus en plus à mesure qu’elle s’éloigne du plan de xy.
L’éq. [P^ n’étant pas semblable par rapport h x, y, z, les plans parallèles à xz à yz donnent d’autres résultats. Soit fait y = ± p, on a Px* — P"z5 = H — P'fP; donc la surface est coupée suivant des hyperboles par tous les plans parallèles à celui de xz. Mais ces courbes n’ont pas toujours leurs branches tournées du même
côté. Tant que P est moindre queOB ou Wp (fig. 31), le diamètre transverse des sections est parallèle aux x : quand § est plus grand, ce diamètre est parallèle aux z.
Entre ces deux sortes d’hyperboles, on trouve deux droites qui
se coupent : car |3=OB donne Pxs — P''z’=0, d’ouxv'P=zfczyP".' Les projections de ces droites sur le plan de xz sont évidemment les asymptotes communes aux projections des deux sortes d'hyperboles (fig. 32). Les sections parallèles au plan de yz donnent des remarques analogues.
On doit maintenant se faire une idée assez nette de la surface que nous étudions , laquelle est , comme on voit , tout à fait différente de l'ellipsoïde. On la nomme Hïperboloïde a une nappe.
Pour mettre en évidence les diamètres de cette surface , on divise l’équation [P1] par H, on fait comme dans le n° 619,
= y/p » * = y/p; et il vient
La surface rencontre le diamètre des x et des y aux distances a et b. Mais elle ne rencontre pas le diamètre des z; car, en faisant x — (J et y = 0, on trouve z — zhc\j — 1 . C’est pourquoi l’on dit qu’il y a deux diamètres réels et un diamètre imaginaire.
Quand les coordonnées sont rectangulaires, et qu’on suppose
b = a, l’équation [//] devient x* -)- y' — — z! == a! : alors la surface peut être engendrée par une hyperbole tournant autour de son second axe. C’est un hypei'boloïde de révolution à nappe.
