Le dernier cas des surfaces douées de centre est

[P"] Px’ + Py — PV = — II.

Pour les sections des plans coordonnés , on trouve les équations Px*-j-Py = — H, Px* — P'z* = — H, P'*/8 — PV = — H; la première est impossible, ce qui prouve que le plan de xy ne rencontre pas la surface j les deux autres représentent des hyperboles (fig. 33).

L’éq. [P"] donne Px* + P'ÿs = P"z* — H , et de là on conclut

que, depuis z = 0 jusqu’à z = dt W — , la surface n’est point rencontrée par un plan parallèle à celui de xy : de sorte que , si on prend OC = OC’ = y/^ , et qu’on mène les plans RCS, R'C'S', parallèles à celui de xy, la surface n’aura aucun point entre ces

plans. Lorsque z = ±OC, la section n’est encore qu’un seul point, G ou C'; mais, en faisant croître ensuite z jusqu’à dbc *>, on obtient des ellipses réelles, telles que aba'b’, dont les diamètres augmentent jusqu’à l’infini.

Quant aux sections parallèles au plan de xz, ou à celui de yz, elles sont toujours des hyperboles semblables et semblablement placées.

La forme de la surface est facile à saisir. Elle diffère essentiellement de l’ellipsoïde en ce qu’elle s’étend à l’infini; et de l’hyperboloïde à une nappe, en ce qu’elle est composée de deux nappes disjointes. On la nomme Htperboloïde a deux nappes.

En mettant les diamètres en évidence, l’éq. |P"] se change en

Les diamètres 2a et 26 sont imaginaires , le 3e diamètre 2 r est seul réel.

L’hypothèse b=a réduit l’éq. à celle-ci : x*-j -y* — — :’= — a’, laquelle représente un hyperboloide de révolution à deux nappes.

Surfaces dénuées de centre.

(122. Ces surfaces sont renfermées dans l’éq. [F] (611),

[F] F/ + P"z* = 2Qx.

On peut, si on le veut, changer tous les signes, et aussi le sens des x positifs ; et de cette manière on pourra rendre positifs , s’ils ne le sont déjà, les coefficients de y1 et de x. De là il suit que l’éq. jF) n offre que deux cas généraux, savoir :

JQ] Py* -f P"z* = 2Qx, [Q'] py — P”z1 = 2Qx.

623. Considérons d’abord la surface qui résulte de l’éq. [Q]. Pour les sections des plans coordonnés , on a les équations Py’ y P"z* = 0, py = 2 Qx, P"z* = 2Q:r : la première détermine l’origine; et les deux autres, des paraboles telles que ROR', SOS' (fig. 34).

En prenant x négatif, l éq. [Q] est impossible; mais les valeurs positives de x donnent des ellipses, telles que beb'c, d'autant plus grandes que x est plus grand.

Les sections parallèles à chacun des deux autres plans coordonnés sont des paraboles respectivement égales à ROR' et à SOS'. Par exemple, si on fait z = y, il vient P' y* = 2Qx — P"y* ; et cette équation donne une parabole rdr ', qui ne diffère de ROR' que par la situation.

La surface que nous venons d’examiner a reçu le nom de Para-

BOLOÏDE ELLIPTIQUE.

Les paraboles situées dans les plans xy et x: ont pour diamètre commun la ligne des x; leurs paramètres, relatifs à ce diamètre,

sont p , Pour les introduire dans [Q], posons p = ÿ, p —

et il vient

[Q] q'y 1 + q~' = Zqq'x-

Quand les coordonnées sont rectangulaires, et que P" = P' ou (f — q, la surface est produite par la rotation d’une parabole autour de son axe : c’est alors le paraboloïde de révolution.

624. Il ne reste plus à discuter que l’éq. [Q']. Pour les sections des plans coordonnés, elle donne P 'y* — P''z* = 0, P y* = 2Qx , P "z* = — 2Qx. La première de ces équations détermine, dans le plan y:, deux droites OD et OD' (fig. 35); la seconde indique, dans le plan xy. une parabole ROR' tournée du côté des x positifs; et la troisième donne dans le plan xz, une parabole SOS' tournée du côté des x négatifs.

Pour avoir des sections parallèles au plan de y:, faisons x=±a, il vient P' y* — P "z*= ± 2Qa : c’est-à-dire qu’on a des hyperboles dont les branches sont différemment tournées selon le signe de a. 11 est à remarquer que toutes ces hyperboles ont leurs centres sur l’axe des x, et que leurs asymptotes sont parallèles aux droites OD, OD' : par conséquent ces asymptotes sont situées dans les deux plans conduits par ces droites et par l’axe des x.

Pour avoir les sections parallèles au plan xy, faisons encore s = y : il vient P 'y' = 2Qx -}- P"-/1. Cette équation donne une suite de paraboles; et ces parrboles ne sont autres que la parabole ROR' placée successivement dans les différentes positions qu’elle occuperait, si on la faisait mouvoir de manière que son plan fût toujours parallèle au plan de xy, son diamètre Ox parallèle à la ligne des x, et le point O toujours sur la parabole SOS'.

Il est évident que, dans ce mouvement, la parabole ROR' doit

engendrer la surface. Les sections parallèles au plan de xz montreraient que la surface peut être aussi décrite en faisant glisser la seconde parabole le long de la première. Ce mode de génération indique clairement la forme de la surface, laquelle est, comme on voit, semblable à celle que prendrait un cylindre à base parabolique, dont les arêtes seraient recourbées en paraboles (fig. 36).

Cette surlace, qui diffère essentiellement de la précédente à raison des sections hyperboliques qu’on y peut faire, s’appelle Paraboloïde hyperbolique.

En mettant en évidence les paramètres du diamètre Ox, relatifs aux deux paraboles ROR', SOS', l’éq. [Q'] devient

v/\ «y — ?z* = Sÿÿ'tf.

Cas particuliers.

625. Il faut maintenant considérer les cas particuliers où il y a des termes nuis dans les équations [E] et [F],

[E] Px*+Py+P"2*=H, [F] Py+PV=2Qx.

1° Lorsque H=0, l’éq. [E] se réduit à Px’-f-P'i/’-f- PV = 0; et comme on peut toujours regarder P et P* comme positif, cette équation donne deux cas distincts à examiner, savoir :

[i] Px’-f py+pv=o, [2] Pxs+py— pv=o.

L’éq. [1] ne peut être vérifiée qu’en prenant à la fois x = 0, y == 0, 2 = 0; donc elle représente un point unique. C’est un ellipsoïde dont les dimensions sont milles.

L’éq. [2] représente un cône. En effet, l’éq. d’un plan quelconque passant par l’axe des z est y — ax; et si on met cette valeur de y dans [2] on trouve

(P + PV)x*- PV= 0, d’où x = dt z :

résultat qui prouve que l’intersection du plan avec la surface de l’éq. [2] se projette sur le plan de xz suivant deux droites passant par l’origine. Ainsi, tous les plans conduits par l’axe des z coupent la surface suivant des droites passant par l’origine ; donc la surface est un cône qui a l’origine pour sommet.

2° Dans l’hypothèse P"=0, l’éq. [E] devient Px’-j- P//* =H.

Regardons P comme positif, et prenons alternativement F positif et P' négatif, on a

[3] Px*+Py=H, [4] Px>— py— H.

L’éq. [3[ donne un cylindre à base elliptique quand H est positif (548). Il se réduit à une droite si H = 0, car alors l’équation ne peut se vérifier qu’en faisant 0, y =0; et il devient imaginaire si H est négatif.

L’éq. [4] donne un cylindre à base hyperbolique, quel que soit le signe de H. Quand H = O, on a deux plans qui se coupent.

3° Supposons P"=0, P'=0: l’éq. [E] se réduit à Px’ = H, et représente alors deux plans parallèles, ou un plan unique, ou deux plans imaginaires, selon que H est positif, nul ou négatif.

4“ En laissant de côté les cas qui rentrent dans les précédents, l’éq. [F] ne donne que celui-ci P'y!= 2Qx. La surface est alors un cylindre à base parabolique.

Conclusion du chapitre.

626. Cette conclusion est que les surfaces du 2° ordre peuvent se distribuer en cinq genres, savoir : I’ellipsoïde, I’hyperboloïhe a

UNE NAPPE, l’iIYPERBOLOÏDE A DEUX NAPPES, le PARABOLOÏDE ELLIPTIQUE, et le PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE.

Toutefois, pour que cette classification soit complète, il faut rattacher à ces surfaces, comme cas particuliers, les cônes et les cylindres. En outre, H faut remarquer qu’une équation du 2* degré peut aussi donner deux plans qui se eoupent, deux plans parallèles, un plan unique, une droite, un point ; et même elle peut offrir des cas d’impossibilité.